Докажите, что середины сторон пространственного четырёхугольника являются вершинами параллелограмма.

По выделенному на фото номеру решаю задание 43.

Краткий ответ. Да. Если \(M,N,P,Q\) — середины последовательных сторон \(AB,BC,CD,DA\) пространственного четырёхугольника \(ABCD\), то \(MNPQ\) — параллелограмм.

Доказательство

1. В треугольнике \(ABC\) точки \(M\) и \(N\) — середины сторон \(AB\) и \(BC\). Значит, \(MN\) — средняя линия: \[ MN \parallel AC,\qquad MN=\frac12 AC. \]

2. В треугольнике \(ADC\) точки \(Q\) и \(P\) — середины сторон \(AD\) и \(DC\). Значит, \(QP\) — средняя линия: \[ QP \parallel AC,\qquad QP=\frac12 AC. \]

3. Поэтому \[ MN \parallel QP,\qquad MN=QP. \]

В четырёхугольнике \(MNPQ\) одна пара противоположных сторон параллельна и равна. Следовательно, \(MNPQ\) — параллелограмм.

То, что исходный четырёхугольник может быть неплоским, не мешает: \(MN\) и \(QP\) параллельны одной и той же прямой \(AC\), поэтому они параллельны между собой и лежат в одной плоскости.

Проверка: для плоского четырёхугольника это обычная теорема Вариньона; в пространстве рассуждение остаётся тем же.