Реши уравнение x² − 5x + 6 = 0
Краткий ответ: \(\;x_1=2,\quad x_2=3\).
Решение:
\[ x^2-5x+6=0 \]
Заметим, что левую часть можно разложить на множители:
\[ x^2-5x+6=(x-2)(x-3) \]
Значит,
\[ (x-2)(x-3)=0 \]
Произведение равно нулю, когда хотя бы один множитель равен нулю:
\[ x-2=0 \quad \text{или} \quad x-3=0 \]
Отсюда:
\[ x=2 \quad \text{или} \quad x=3 \]
Проверка:
- при \(x=2\): \(\;2^2-5\cdot2+6=4-10+6=0\);
- при \(x=3\): \(\;3^2-5\cdot3+6=9-15+6=0\).
Оба корня подходят.
\[ \boxed{x_1=2,\; x_2=3} \]
Обсуждение
2 сообщенияРеши похожее: x² − 7x + 12 = 0
Краткий ответ: \(\;x_1=3,\quad x_2=4\).
Решение:
\[ x^2-7x+12=0 \]
Ищем два числа, которые в произведении дают \(12\), а в сумме — \(7\). Это \(3\) и \(4\), поэтому левая часть раскладывается так:
\[ x^2-7x+12=(x-3)(x-4) \]
Тогда:
\[ (x-3)(x-4)=0 \]
Произведение равно нулю, когда хотя бы один множитель равен нулю:
\[ x-3=0 \quad \text{или} \quad x-4=0 \]
Отсюда:
\[ x=3 \quad \text{или} \quad x=4 \]
Проверка (по теореме Виета для \(x^2+px+q=0\) должно быть \(x_1+x_2=-p=7\) и \(x_1x_2=q=12\)):
\[ 3+4=7,\qquad 3\cdot 4=12 \]
Всё сходится. Подстановкой тоже: \(3^2-7\cdot3+12=9-21+12=0\) и \(4^2-7\cdot4+12=16-28+12=0\).
\[ \boxed{x_1=3,\; x_2=4} \]
Принцип тот же, что и в прошлом примере: если уравнение имеет вид \(x^2+px+q=0\) с целыми корнями, подбираем два числа с суммой \(-p\) и произведением \(q\) — и сразу получаем разложение на множители.
