Решай 5 и 6

Краткий ответ

Оба тождества доказываются одинаково — через «вторые» тригонометрические единицы:

\[ 1+\operatorname{tg}^2\alpha=\frac{1}{\cos^2\alpha},\qquad 1+\operatorname{ctg}^2\alpha=\frac{1}{\sin^2\alpha}. \]

Поэтому в № 5 дробь равна \(\cos^2\alpha\), а в № 6 — \(\sin^2\alpha\), и остаётся только основное тождество.

Откуда берутся эти формулы

Берём \(\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1\).

Разделим обе части на \(\cos^2\alpha\ne 0\):

\[ \operatorname{tg}^2\alpha+1=\frac{1}{\cos^2\alpha}. \]

Разделим обе части на \(\sin^2\alpha\ne 0\):

\[ 1+\operatorname{ctg}^2\alpha=\frac{1}{\sin^2\alpha}. \]

Это и есть главный приём: единица плюс квадрат тангенса (котангенса) — это «перевёрнутый» квадрат косинуса (синуса).

№ 5. \(\dfrac{1}{1+\operatorname{tg}^2\alpha}+\sin^2\alpha=1\)

\[ \frac{1}{1+\operatorname{tg}^2\alpha} =\frac{1}{\frac{1}{\cos^2\alpha}} =\cos^2\alpha \]

Тогда левая часть:

\[ \cos^2\alpha+\sin^2\alpha=1. \]

Правая часть тоже \(1\) — тождество доказано. Условие: \(\cos\alpha\ne 0\) (иначе тангенс не определён).

№ 6. \(\dfrac{1}{1+\operatorname{ctg}^2\alpha}+\cos^2\alpha=1\)

\[ \frac{1}{1+\operatorname{ctg}^2\alpha} =\frac{1}{\frac{1}{\sin^2\alpha}} =\sin^2\alpha \]

Левая часть:

\[ \sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1. \]

Тождество доказано. Условие: \(\sin\alpha\ne 0\).

Проверка на числе

Возьмём \(\alpha=30^\circ\):

• № 5: \(\operatorname{tg}^2 30^\circ=\frac{1}{3}\), значит \(\frac{1}{1+\frac{1}{3}}=\frac{3}{4}\), а \(\sin^2 30^\circ=\frac{1}{4}\). Сумма \(\frac{3}{4}+\frac{1}{4}=1\). ✓
• № 6: \(\operatorname{ctg}^2 30^\circ=3\), значит \(\frac{1}{1+3}=\frac{1}{4}\), а \(\cos^2 30^\circ=\frac{3}{4}\). Сумма \(1\). ✓

Как действовать в похожем задании

1. Увидел \(1+\operatorname{tg}^2\alpha\) в знаменателе — сразу замени на \(\frac{1}{\cos^2\alpha}\), дробь перевернётся в \(\cos^2\alpha\).
2. Увидел \(1+\operatorname{ctg}^2\alpha\) — получишь \(\sin^2\alpha\).
3. Дальше почти всегда остаётся \(\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1\) — и пример решён.