как решить 2 задание

Краткий ответ

а) \(y(0{,}5)=2{,}25\) — по графику примерно \(2{,}3\);

б) \(y=-1\) при
\[ x_1=3-\sqrt3\approx1{,}27,\qquad x_2=3+\sqrt3\approx4{,}73; \]

в) нули функции: \(x=1\) и \(x=5\);
\(y>0\) при \(x<1\) или \(x>5\);
\(y<0\) при \(1<x<5\);

г) функция возрастает при \(x\ge3\), то есть на промежутке \([3;+\infty)\). Иногда записывают \((3;+\infty)\).

Как построить график

Это парабола \(y=x^2-6x+5\), ветви направлены вверх, потому что коэффициент при \(x^2\) положителен.

Вершина: \[ x_0=-\frac{b}{2a}=-\frac{-6}{2}=3, \] \[ y_0=3^2-6\cdot3+5=-4. \] Значит, вершина — точка \((3;-4)\).

Нули функции находим из уравнения: \[ x^2-6x+5=0. \] По теореме Виета: \[ x_1+x_2=6,\qquad x_1x_2=5, \] поэтому \(x_1=1,\ x_2=5\).

Можно отметить точки:

Через эти точки проводим плавную параболу.

Что показывает график

а) При \(x=0{,}5\) проводим вертикальную прямую до пересечения с параболой. Получаем \(y\approx2{,}3\). Точное значение: \[ y=0{,}5^2-6\cdot0{,}5+5=0{,}25-3+5=2{,}25. \]

б) Проводим горизонтальную прямую \(y=-1\). Она пересекает параболу в двух точках. Находим их: \[ x^2-6x+5=-1, \] \[ x^2-6x+6=0, \] \[ D=36-24=12, \] \[ x=\frac{6\pm\sqrt{12}}{2}=3\pm\sqrt3. \] То есть \(x\approx1{,}27\) и \(x\approx4{,}73\).

в) Парабола пересекает ось \(x\) в точках \(x=1\) и \(x=5\) — это нули функции.

Так как ветви направлены вверх:

• выше оси \(x\) график находится слева от \(1\) и справа от \(5\):
  \[ y>0 \text{ при } x<1 \text{ или } x>5; \]
• ниже оси \(x\) график находится между корнями:
  \[ y<0 \text{ при } 1<x<5. \]

г) Левая и правая ветви симметричны относительно прямой \(x=3\). До \(x=3\) функция убывает, после \(x=3\) — возрастает. Поэтому промежуток возрастания: \[ [3;+\infty). \]

Проверка: вершина \((3;-4)\) — самая нижняя точка параболы, значит, левее неё функция убывает, а правее — возрастает.