номер 465 выполнить
Сверь числа и знаки с фото.
- Найдите значение выражения:
a) \(\frac{2^5 \cdot (2^3)^4}{2^{13}}\); в) \(\frac{(2^5)^2}{2^6 \cdot 4}\); д) \(\frac{(5^2)^4 \cdot 25}{5^9}\); ж) \(\frac{3^{11} \cdot 27}{(3^4)^3 \cdot 9}\);
б) \(\frac{(5^8)^2 \cdot 5^7}{5^{22}}\); г) \(\frac{3^7 \cdot 27}{(3^4)^3}\); е) \(\frac{(7^3)^3 \cdot 7^2}{(7^5)^2}\); з) \(\frac{(11^2)^3}{11^2 \cdot 11^3}\).
Ответ: а) \(16\); б) \(5\); в) \(4\); г) \(\frac{1}{9}\); д) \(5\); е) \(7\); ж) \(1\); з) \(11\).
Главное правило: степени можно объединять, если у них одинаковое основание: \[ a^m\cdot a^n=a^{m+n},\qquad a^m:a^n=a^{m-n},\qquad (a^m)^n=a^{mn}. \] Числа \(4,9,25,27\) тоже записываем степенями: \(4=2^2,\ 9=3^2,\ 25=5^2,\ 27=3^3\).
Например, в пункте а): \[ (2^3)^4=2^{12},\quad 2^5\cdot2^{12}=2^{17},\quad \frac{2^{17}}{2^{13}}=2^{17-13}=2^4=16. \] Если показатель получается отрицательным, используем \(a^{-k}=\frac{1}{a^k}\). В пункте г): \[ \frac{3^7\cdot3^3}{(3^4)^3}=\frac{3^{10}}{3^{12}}=3^{-2}=\frac{1}{9}. \]
Остальные пункты:
| Пункт | Приведение к одному основанию | Ответ |
|---|---|---|
| а) | \(2^{5+3\cdot4-13}=2^4\) | \(16\) |
| б) | \(5^{8\cdot2+7-22}=5^1\) | \(5\) |
| в) | \(2^{5\cdot2-(6+2)}=2^2\) | \(4\) |
| г) | \(3^{7+3-4\cdot3}=3^{-2}\) | \(\frac{1}{9}\) |
| д) | \(5^{2\cdot4+2-9}=5^1\) | \(5\) |
| е) | \(7^{3\cdot3+2-5\cdot2}=7^1\) | \(7\) |
| ж) | \(3^{11+3-(4\cdot3+2)}=3^0\) | \(1\) |
| з) | \(11^{2\cdot3-(2+3)}=11^1\) | \(11\) |
В пункте ж) показатель равен нулю, а \(a^0=1\) при \(a\ne0\).
Проверка: в каждом примере показатель ответа равен разности «сумма показателей числителя минус сумма показателей знаменателя». Вычисления сходятся.
