Домашняя работа. Задача 1. Двигаясь с постоянной скоростью, велосипедист проезжает 40 метров за 3 с. Какой путь проедет велосипедист за 45 с?

Краткие ответы

1. 600 м
2. \(6\frac{1}{9}\) ч ≈ 6 ч 7 мин (при 275 км и 45 км/ч)
3. 33 км
4. 16 месяцев

Как решать

Задача 1. Прямая пропорциональность

Скорость постоянна, поэтому путь растёт во столько же раз, во сколько время.

\[ v=\frac{40}{3}\ \text{м/с},\qquad s=v\cdot 45=\frac{40}{3}\cdot 45=600\ \text{м} \]

Короче через пропорцию: \(45:3=15\) — время больше в 15 раз, значит и путь в 15 раз больше: \(40\cdot 15=600\) м.

Задача 2. Обратная пропорциональность (путь один и тот же)

Сначала находим длину участка:

\[ s=55\cdot 5=275\ \text{км} \]

Теперь время товарного поезда:

\[ t=\frac{275}{45}=\frac{55}{9}=6\frac{1}{9}\ \text{ч}\approx 6\ \text{ч}\ 7\ \text{мин} \]

Проверка: \(45\cdot \frac{55}{9}=5\cdot 55=275\) км — сходится. Логика обратной зависимости: скорость уменьшилась в \(\frac{55}{45}=\frac{11}{9}\) раза, значит время во столько же раз выросло: \(5\cdot\frac{11}{9}=\frac{55}{9}\).

Задача 3. Пропорция «высота — равнина»

По условию 600 м подъёма «стоят» столько же усилий, сколько 25 км равнины. Значит, одному метру подъёма соответствует

\[ \frac{25}{600}=\frac{1}{24}\ \text{км} \]

Тогда для 792 м:

\[ x=\frac{25\cdot 792}{600}=33\ \text{км} \]

Проверка отношениями: \(\frac{792}{600}=1{,}32\) и \(\frac{33}{25}=1{,}32\) — одинаково.

Задача 4. Обратная пропорциональность (работа одна и та же)

Считаем всю работу в «человеко-месяцах»:

\[ 4\cdot 12=48 \]

Трое выполнят её за

\[ 48:3=16\ \text{месяцев} \]

Проверка: \(3\cdot 16=48=4\cdot 12\). Людей стало в \(\frac{4}{3}\) раза меньше — время в \(\frac{4}{3}\) раза больше: \(12\cdot\frac{4}{3}=16\).

Что запомнить

• Постоянная скорость, ищем путь → путь и время прямо пропорциональны (\(s=vt\)).
• Один и тот же путь или одна и та же работа → скорость и время (или число работников и время) обратно пропорциональны: произведение постоянно (\(v_1t_1=v_2t_2\), \(n_1t_1=n_2t_2\)).
• В задачах-пропорциях (как № 3) удобно сначала найти «цену» одной единицы, а потом умножить на нужное количество.