838. Найдите корень уравнения 11/(x-5) = 5/(x-11).
Реши номер 838
Сверь числа и знаки с фото.
- Найдите корень уравнения \[\frac{11}{x-5}=\frac{5}{x-11}.\]
Краткий ответ: \(x=16\).
Решение
\[ \frac{11}{x-5}=\frac{5}{x-11} \]
ОДЗ. Знаменатели не равны нулю: \[ x\neq 5,\qquad x\neq 11. \]
Свойство пропорции. Равенство двух дробей \(\frac{a}{b}=\frac{c}{d}\) означает, что \(a\cdot d=b\cdot c\) (произведение «крест-накрест»): \[ 11(x-11)=5(x-5). \]
Раскрываем скобки: \[ 11x-121=5x-25. \]
Переносим слагаемые с \(x\) влево, числа — вправо: \[ 11x-5x=121-25, \] \[ 6x=96, \] \[ x=16. \]
Проверка (и заодно проверка ОДЗ, ведь \(16\neq 5\) и \(16\neq 11\)): \[ \frac{11}{16-5}=\frac{11}{11}=1,\qquad \frac{5}{16-11}=\frac{5}{5}=1. \] Левая и правая части равны, значит корень найден верно.
В чём принцип: уравнение с дробями вида «дробь = дробь» удобно решать через основное свойство пропорции — перемножить крест-накрест. После этого знаменатели исчезают и остаётся обычное линейное уравнение. Обязательно проверяй, что найденный корень не обращает знаменатель в ноль.
Обсуждение
10 сообщений840
Краткий ответ: \(x=22\).
Решение
\[ \frac{7}{x-15}=\frac{15}{x-7} \]
ОДЗ. Знаменатели не равны нулю: \[ x\neq 15,\qquad x\neq 7. \]
Перемножаем крест-накрест: \[ 7(x-7)=15(x-15). \]
Раскрываем скобки: \[ 7x-49=15x-225. \]
Переносим слагаемые с \(x\) в одну сторону, числа — в другую: \[ 7x-15x=-225+49, \] \[ -8x=-176, \] \[ x=22. \]
Проверка (корень не совпадает с запрещёнными значениями \(7\) и \(15\)): \[ \frac{7}{22-15}=\frac{7}{7}=1,\qquad \frac{15}{22-7}=\frac{15}{15}=1. \] Обе части равны 1 — корень верный.
Принцип тот же, что в № 838: «дробь равна дроби» решаем по основному свойству пропорции, затем проверяем, что корень не обнуляет знаменатель.
Реши номер 841
Краткий ответ: \(x=-2\).
Решение
\[ \frac{1}{x+7}+\frac{1}{x-3}=0 \]
ОДЗ. Знаменатели не равны нулю: \[ x\neq -7,\qquad x\neq 3. \]
Приводим дроби к общему знаменателю: \[ \frac{(x-3)+(x+7)}{(x+7)(x-3)}=0, \] \[ \frac{2x+4}{(x+7)(x-3)}=0. \]
Дробь равна нулю, когда её числитель равен нулю, а знаменатель — нет: \[ 2x+4=0, \] \[ 2x=-4, \] \[ x=-2. \]
Проверка. Корень не равен \(-7\) и \(3\), то есть ОДЗ соблюдается: \[ \frac{1}{-2+7}+\frac{1}{-2-3}=\frac{1}{5}-\frac{1}{5}=0. \]
Принцип: сумму дробей, равную нулю, удобно свести к одной дроби. Затем числитель приравниваем к нулю, а найденный корень обязательно проверяем по ОДЗ.
Реши номер 842
Краткий ответ: \(x=-2{,}5\) (или \(-\frac{5}{2}\)).
Решение
По фото № 842: \[ \frac{1}{x+6}+\frac{1}{x-1}=0 \]
ОДЗ. Знаменатели не равны нулю: \[ x\neq -6,\qquad x\neq 1. \]
Приводим к общему знаменателю: \[ \frac{(x-1)+(x+6)}{(x+6)(x-1)}=0, \] \[ \frac{2x+5}{(x+6)(x-1)}=0. \]
Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю: \[ 2x+5=0, \] \[ 2x=-5, \] \[ x=-\frac{5}{2}=-2{,}5. \]
Проверка. Корень не равен \(-6\) и \(1\), ОДЗ соблюдена: \[ \frac{1}{-2{,}5+6}+\frac{1}{-2{,}5-1}=\frac{1}{3{,}5}-\frac{1}{3{,}5}=0. \]
Принцип (как в № 841): сумму дробей сводим к одной дроби, приравниваем числитель к нулю, а корень проверяем по ОДЗ.
Реши номер 843
Краткий ответ: \(x=1\).
Решение
По фото № 843: \[ \frac{1}{x-5}+\frac{1}{x+3}=0 \]
ОДЗ. Знаменатели не равны нулю: \[ x\neq 5,\qquad x\neq -3. \]
Приводим дроби к общему знаменателю: \[ \frac{(x+3)+(x-5)}{(x-5)(x+3)}=0, \] \[ \frac{2x-2}{(x-5)(x+3)}=0. \]
Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю: \[ 2x-2=0, \] \[ 2x=2, \] \[ x=1. \]
Проверка. Корень не равен \(5\) и \(-3\), ОДЗ соблюдена: \[ \frac{1}{1-5}+\frac{1}{1+3}=\frac{1}{-4}+\frac{1}{4}=0. \]
Принцип (как в № 841–842): сводим сумму дробей к одной дроби с общим знаменателем, приравниваем числитель к нулю, а найденный корень проверяем по ОДЗ.
Реши номер 844
Краткий ответ: \(x=0\).
Решение
По фото № 844: \[ \frac{1}{x+9}+\frac{1}{x-9}=0 \]
ОДЗ. Знаменатели не равны нулю: \[ x\neq -9,\qquad x\neq 9. \]
Приводим к общему знаменателю: \[ \frac{(x-9)+(x+9)}{(x+9)(x-9)}=0, \] \[ \frac{2x}{x^2-81}=0. \]
Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю: \[ 2x=0, \] \[ x=0. \]
Проверка. Корень не равен \(-9\) и \(9\), ОДЗ соблюдена: \[ \frac{1}{0+9}+\frac{1}{0-9}=\frac{1}{9}-\frac{1}{9}=0. \]
Принцип (как в № 841–843): сумму дробей сводим к одной дроби, приравниваем числитель к нулю, а корень проверяем по ОДЗ. Здесь числитель получился \(2x\), поэтому корень один — ноль.
