с объяснением

Краткий ответ

\[ RS=48,\qquad k=\frac{MN}{KR}=\frac{7}{24},\qquad \frac{S_{MNK}}{S_{KRS}}=k^2=\frac{49}{576} \]

Как это получается

1. Расставляем соответствие вершин. Запись \(\triangle MNK\sim\triangle KRS\) означает порядок соответствия: \(M\leftrightarrow K,\; N\leftrightarrow R,\; K\leftrightarrow S\). Отсюда пары соответственных сторон:

\[ MN\leftrightarrow KR,\qquad NK\leftrightarrow RS,\qquad MK\leftrightarrow KS \]

Проверка по рисунку: в малом треугольнике прямой угол при \(M\), в большом — при \(K\); дугой отмечены равные углы при \(N\) и \(R\). Всё сходится.

2. Коэффициент подобия. Берём известную пару сторон \(MN=7\) и \(KR=24\):

\[ k=\frac{MN}{KR}=\frac{7}{24} \]

(Если считать от большого треугольника к малому, то \(k=\frac{24}{7}\) — направление зависит от того, что брать за «первый» треугольник.)

3. Находим \(RS\). Ему соответствует сторона \(NK=14\), значит

\[ RS=NK\cdot\frac{KR}{MN}=14\cdot\frac{24}{7}=2\cdot 24=48 \]

4. Отношение площадей. У подобных фигур площади относятся как квадрат коэффициента подобия:

\[ \frac{S_{MNK}}{S_{KRS}}=\left(\frac{7}{24}\right)^2=\frac{49}{576} \]

То есть \(S_{MNK}:S_{KRS}=49:576\).

Проверка (по теореме Пифагора). В малом треугольнике \(MK=\sqrt{14^2-7^2}=7\sqrt3\). Тогда \(KS=7\sqrt3\cdot\frac{24}{7}=24\sqrt3\). В большом треугольнике с катетами \(24\) и \(48\): \(\sqrt{48^2-24^2}=24\sqrt3\) — совпало, значит \(RS\) найдено верно.

Небольшое уточнение: на фото в «Дано» есть строка с числом, похожим на \(4\), но к какому отрезку оно относится, разобрать не удалось. Я решал по данным рисунка (\(MN=7,\ NK=14,\ KR=24\)). Если это число относится к другой стороне — напиши, к какой, и я пересчитаю.

Понял — исправляю: \(NK=11\), \(KR=21\), а \(MN=7\) остаётся.

Краткий ответ

\[ RS=33,\qquad k=\frac{MN}{KR}=\frac{7}{21}=\frac13,\qquad \frac{S_{MNK}}{S_{KRS}}=k^2=\frac19 \]

То есть \(S_{MNK}:S_{KRS}=1:9\).

Как это получается

1. Соответствие сторон. Из записи \(\triangle MNK\sim\triangle KRS\) порядок вершин даёт \(M\leftrightarrow K,\;N\leftrightarrow R,\;K\leftrightarrow S\), значит соответственные стороны:

\[ MN\leftrightarrow KR,\qquad NK\leftrightarrow RS,\qquad MK\leftrightarrow KS \]

2. Коэффициент подобия. По известной паре \(MN=7\) и \(KR=21\):

\[ k=\frac{MN}{KR}=\frac{7}{21}=\frac13 \]

Малый треугольник втрое меньше большого.

3. Сторона \(RS\). Ей соответствует \(NK=11\), поэтому

\[ RS=NK\cdot\frac{KR}{MN}=11\cdot 3=33 \]

4. Отношение площадей. Площади подобных фигур относятся как квадрат коэффициента подобия:

\[ \frac{S_{MNK}}{S_{KRS}}=\left(\frac13\right)^2=\frac19 \]

Проверка по теореме Пифагора. В малом треугольнике \(MK=\sqrt{11^2-7^2}=\sqrt{72}=6\sqrt2\), тогда \(KS=6\sqrt2\cdot3=18\sqrt2\). В большом треугольнике с катетами \(21\) и \(33\):

\[ \sqrt{33^2-21^2}=\sqrt{1089-441}=\sqrt{648}=18\sqrt2 \]

Совпало — значит \(RS=33\) найдено верно.

Да, именно эти числа я и подставил в прошлом ответе: \(MN=7\), \(NK=11\), \(KR=21\). Результат от этого не меняется:

\[ k=\frac{7}{21}=\frac13,\qquad RS=11\cdot 3=33,\qquad \frac{S_{MNK}}{S_{KRS}}=\frac19 \]

Проверка: \(MK=\sqrt{11^2-7^2}=6\sqrt2\), \(KS=18\sqrt2\), а в большом треугольнике \(\sqrt{33^2-21^2}=18\sqrt2\) — сходится.

Если \(11\) — это не \(NK\), а другая сторона (например, \(MK\)), скажи, к какому отрезку она относится, и я пересчитаю: тогда \(RS\) так просто не найдётся, потому что \(NK\) останется неизвестным.

Хорошо, разберём с самого начала — с того, что вообще означает «треугольники подобны».

1. Что такое подобные треугольники

Подобные — это треугольники одинаковой формы, но разного размера. Один — как увеличенная (или уменьшенная) фотография другого: все углы совпадают, а все стороны изменены в одно и то же число раз.

2. Главное: порядок букв в записи

Запись \(\triangle MNK\sim\triangle KRS\) — это не просто «эти треугольники похожи». Порядок букв показывает, какая вершина какой соответствует:

\[ M\leftrightarrow K,\qquad N\leftrightarrow R,\qquad K\leftrightarrow S \]

Читаем по позициям: 1-я буква с 1-й, 2-я со 2-й, 3-я с 3-й. Значит, равны углы:

\[ \angle M=\angle K,\qquad \angle N=\angle R,\qquad \angle K=\angle S \]

А если равны углы, то и стороны, лежащие между соответствующими вершинами, тоже соответствуют друг другу. Соединяем 1-ю и 2-ю вершины в каждом треугольнике:

\[ MN\leftrightarrow KR,\qquad NK\leftrightarrow RS,\qquad MK\leftrightarrow KS \]

Удобно сразу выписать таблицу:

В \(\triangle MNK\)	В \(\triangle KRS\)
\(MN=7\)	\(KR=21\)
\(NK=11\)	\(RS=?\)
\(MK=?\)	\(KS=?\)

3. Коэффициент подобия

Это число, показывающее, во сколько раз один треугольник больше другого. Его находят по любой паре соответственных сторон — по той, где оба числа известны:

\[ k=\frac{MN}{KR}=\frac{7}{21}=\frac{1}{3} \]

То есть каждая сторона \(\triangle MNK\) в 3 раза меньше своей «напарницы» из \(\triangle KRS\). Это отношение одинаково для всех трёх пар:

\[ \frac{MN}{KR}=\frac{NK}{RS}=\frac{MK}{KS}=\frac13 \]

Именно это и есть подобие: одна и та же пропорция для всех сторон.

4. Находим \(RS\)

Берём пару, где одно число неизвестно:

\[ \frac{NK}{RS}=\frac13 \]

\[ \frac{11}{RS}=\frac13 \]

Дальше обычная пропорция — перемножаем «крест-накрест»:

\[ 11\cdot 3=RS\cdot 1\quad\Rightarrow\quad RS=33 \]

5. Почему площади относятся как \(k^2\)

Площадь прямоугольного треугольника — половина произведения катетов:

\[ S=\frac12\cdot MN\cdot MK \]

Если каждую сторону увеличить в 3 раза, то в произведении появится множитель \(3\cdot 3=9\):

\[ \frac12\cdot(3\,MN)\cdot(3\,MK)=9\cdot\frac12\cdot MN\cdot MK \]

Поэтому площади подобных треугольников относятся как квадрат коэффициента подобия:

\[ \frac{S_{MNK}}{S_{KRS}}=\left(\frac13\right)^2=\frac19 \]

Проще говоря: стороны выросли в 3 раза, а площадь — в 9 раз.

6. Проверка

В \(\triangle MNK\) гипотенуза \(NK=11\), катет \(MN=7\), значит второй катет по теореме Пифагора:

\[ MK=\sqrt{11^2-7^2}=\sqrt{121-49}=\sqrt{72}=6\sqrt2 \]

Умножаем на 3:

\[ KS=6\sqrt2\cdot 3=18\sqrt2 \]

А теперь проверим большой треугольник: катеты \(KR=21\) и \(KS=18\sqrt2\), гипотенуза должна быть

\[ \sqrt{21^2+\left(18\sqrt2\right)^2}=\sqrt{441+648}=\sqrt{1089}=33 \]

Совпало с найденным \(RS\) — значит решение верное.

Что запомнить

1. Порядок букв в записи подобия задаёт соответствие вершин.
2. По нему выписываем пары соответственных сторон.
3. \(k\) — отношение любой пары соответственных сторон, оно одинаково для всех пар.
4. Неизвестную сторону находим через пропорцию.
5. Площади относятся как \(k^2\).

Если какой-то шаг всё ещё «не щёлкает» — скажи, какой именно (соответствие вершин, пропорция или площади), и я разберу его отдельно на более простом примере.