105 задание
Сверь числа и знаки с фото.
- Решите уравнение \[ (x+3)^2-(x-3)^2=(x-2)^2+(x+2)^2 \] и отметьте его корни на координатной прямой.
Краткий ответ: \[ x_1=3-\sqrt5,\qquad x_2=3+\sqrt5. \]
Как решать
Левую часть удобно упростить по формуле разности квадратов: \[ (x+3)^2-(x-3)^2=\bigl((x+3)-(x-3)\bigr)\bigl((x+3)+(x-3)\bigr)=6\cdot 2x=12x. \]
Раскроем квадраты в правой части: \[ (x-2)^2+(x+2)^2=(x^2-4x+4)+(x^2+4x+4)=2x^2+8. \]
Получаем уравнение: \[ 12x=2x^2+8. \] Перенесём всё в одну сторону и разделим на 2: \[ 2x^2-12x+8=0 \quad\Longleftrightarrow\quad x^2-6x+4=0. \]
Решим квадратное уравнение: \[ D=(-6)^2-4\cdot 1\cdot 4=36-16=20, \] \[ x_{1,2}=\frac{6\pm\sqrt{20}}2=\frac{6\pm2\sqrt5}2=3\pm\sqrt5. \]
Проверка: по теореме Виета для \(x^2-6x+4=0\) сумма корней равна \(6\), произведение равно \(4\). У чисел \(3-\sqrt5\) и \(3+\sqrt5\) это действительно так.
На координатной прямой: \[ 3-\sqrt5\approx0{,}76,\qquad 3+\sqrt5\approx5{,}24. \] Отмечаем первую точку между \(0\) и \(1\), ближе к \(1\); вторую — между \(5\) и \(6\), ближе к \(5\).
Обсуждение
3 сообщения103 а
Ответ: квадратный трёхчлен \(3x^2-8x+2\) имеет два различных корня.
Как это определяется
Число корней квадратного трёхчлена \(ax^2+bx+c\) зависит от знака дискриминанта: \[ D=b^2-4ac. \] Если \(D>0\) — два корня, если \(D=0\) — один, если \(D<0\) — корней нет.
Для \(a=3,\ b=-8,\ c=2\): \[ D=(-8)^2-4\cdot 3\cdot 2=64-24=40. \] Так как \(40>0\), корней два.
Сами корни: \[ x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}=\frac{8\pm\sqrt{40}}{6}=\frac{8\pm2\sqrt{10}}{6}=\frac{4\pm\sqrt{10}}{3}. \]
Проверка по теореме Виета: сумма корней должна быть \(\frac{8}{3}\), произведение — \(\frac{2}{3}\): \[ \frac{4+\sqrt{10}}{3}+\frac{4-\sqrt{10}}{3}=\frac{8}{3},\qquad \frac{4+\sqrt{10}}{3}\cdot\frac{4-\sqrt{10}}{3}=\frac{16-10}{9}=\frac{2}{3}. \] Всё сходится.
127 а
