как решить 5 задание

Question

Расшифровка фото нейросетью:
5. Не выполняя построения, определите, пересекаются ли парабола $y=\frac{1}{4}x^2$ и прямая $y=5x-16$. Если точки пересечения существуют, то найдите их координаты.

Answer

Краткий ответ: да, парабола и прямая пересекаются в двух точках: $(4;4)$ и $(16;64)$.

Как это найти без построения

Точка пересечения должна принадлежать обоим графикам, поэтому приравниваем правые части:

$$
\frac{1}{4}x^{2}=5x-16
$$

Умножим на $4$:

$$
x^{2}=20x-64
$$

$$
x^{2}-20x+64=0
$$

Находим дискриминант:

$$
D=(-20)^{2}-4\cdot1\cdot64=400-256=144
$$

Так как $D>0$, общих точек две. Корни:

$$
x_{1,2}=\frac{20\pm12}{2}
$$

$$
x_{1}=16,\qquad x_{2}=4
$$

Теперь находим $y$ по уравнению прямой:

$$
y(4)=5\cdot4-16=4
$$

$$
y(16)=5\cdot16-16=64
$$

Получаем точки:

$$
(4;4)\quad\text{и}\quad(16;64)
$$

Проверка по параболе:

$$
\frac{4^{2}}{4}=4,\qquad \frac{16^{2}}{4}=64
$$

Всё сходится.

Принцип для похожих заданий: приравняй выражения для $y$, реши квадратное уравнение и посмотри на дискриминант: $D>0$ — две точки пересечения, $D=0$ — одна, $D<0$ — точек пересечения нет.