Реши уравнение x² − 5x + 6 = 0
Краткий ответ: \(x_1=2,\ x_2=3\).
Решим через дискриминант:
\[ x^2-5x+6=0 \]
\[ D=(-5)^2-4\cdot 1\cdot 6=25-24=1 \]
Так как \(D>0\), корней два:
\[ x_{1,2}=\frac{5\pm\sqrt{1}}{2} \]
\[ x_1=\frac{5-1}{2}=2,\qquad x_2=\frac{5+1}{2}=3 \]
Проверка:
\[ 2^2-5\cdot2+6=4-10+6=0 \]
\[ 3^2-5\cdot3+6=9-15+6=0 \]
Оба числа подходят.
Принцип: для уравнения \(ax^2+bx+c=0\) сначала находят дискриминант \(D=b^2-4ac\). Если \(D>0\), корней два, и они вычисляются по формуле \(\frac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}\). Здесь можно было также заметить, что \(x^2-5x+6=(x-2)(x-3)\).
Обсуждение
6 сообщенийДай ещё одно уравнение для тренировки
Вот уравнение для тренировки:
\[ x^2-7x+12=0 \]
Реши его тем же способом: найди дискриминант \(D=b^2-4ac\), затем корни по формуле \(\frac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}\).
Подсказка: здесь \(a=1,\ b=-7,\ c=12\), то есть \(D=(-7)^2-4\cdot1\cdot12\).
Пришли своё решение — я проверю и скажу, всё ли верно.
Дай кубическое уравнение
Вот кубическое уравнение:
\[ x^3-6x^2+11x-6=0 \]
Как подступиться:
- Угадай один корень среди делителей свободного члена \(-6\): это \(\pm1,\ \pm2,\ \pm3,\ \pm6\). Подставь их по очереди — один подойдёт.
- Раздели многочлен на \(x-x_0\), где \(x_0\) — найденный корень (можно делением «уголком» или по схеме Горнера). Получится квадратный трёхчлен.
- Реши квадратное уравнение — и получишь оставшиеся два корня.
Подсказка: один из корней равен \(1\). Дальше справишься?
Пришли решение — проверю каждый шаг.
Примеры дифур
Вот набор примеров — от самых простых к посложнее. Тип указан, чтобы было понятно, каким приёмом решать.
1. Прямое интегрирование \[ y'=3x^2 \] Решение: \(y=x^3+C\). Здесь просто интегрируем обе части.
2. С разделяющимися переменными \[ y'=2xy \] Переносим: \(\frac{dy}{y}=2x\,dx\), интегрируем: \(\ln|y|=x^2+C\), значит \[ y=Ce^{x^2} \]
3. С начальным условием \[ y'=y,\qquad y(0)=2 \] Общее решение \(y=Ce^{x}\), из условия \(C=2\), то есть \(y=2e^{x}\).
4. Линейное первого порядка \[ y'+y=e^{x} \] Умножаем на интегрирующий множитель \(e^{x}\): \[ (ye^{x})'=e^{2x}\ \Rightarrow\ ye^{x}=\frac{e^{2x}}{2}+C \] \[ y=\frac{e^{x}}{2}+Ce^{-x} \]
5. Линейное второго порядка с постоянными коэффициентами \[ y''-3y'+2y=0 \] Характеристическое уравнение \(r^2-3r+2=0\) даёт \(r=1,\ r=2\), поэтому \[ y=C_1e^{x}+C_2e^{2x} \]
Задание для тренировки: \[ y'=3y,\qquad y(0)=1 \] Реши по образцу примера 2–3 и пришли ответ — проверю.
Уточни, какой уровень тебе нужен: школьное знакомство с понятием, подготовка к ЕГЭ или вузовский курс? Тогда подберу примеры точнее.
