зделай задачу
Сверь числа и знаки с фото.
Задача 1. По двум углам В треугольнике ABC: \(\angle A = 50^\circ\), \(\angle B = 70^\circ\). В треугольнике DEF: \(\angle D = 50^\circ\), \(\angle E = 70^\circ\). Докажите, что треугольники ABC и DEF подобны. Задача 2. По двум сторонам и углу между ними В треугольнике ABC: \(AB = 6\) см, \(AC = 9\) см, \(\angle A = 60^\circ\). В треугольнике DEF: \(DE = 4\) см, \(DF = 6\) см, \(\angle D = 60^\circ\). Докажите, что треугольники подобны. Задача 3. По трём сторонам Дан треугольник ABC со сторонами: \(AB = 4\) см, \(BC = 6\) см, \(AC = 8\) см. Треугольник DEF имеет стороны: \(DE = 6\) см, \(EF = 9\) см, \(DF = 12\) см.
Краткий ответ: все три пары треугольников подобны:
- \(\triangle ABC\sim\triangle DEF\) — по двум равным углам;
- \(\triangle ABC\sim\triangle DEF\) — по двум пропорциональным сторонам и равному углу между ними;
- \(\triangle ABC\sim\triangle DEF\) — по трём пропорциональным сторонам.
Задача 1. По двум углам
Сумма углов треугольника равна \(180^\circ\):
\[ \angle C=180^\circ-50^\circ-70^\circ=60^\circ, \qquad \angle F=180^\circ-50^\circ-70^\circ=60^\circ. \]
Значит,
\[ \angle A=\angle D=50^\circ,\quad \angle B=\angle E=70^\circ,\quad \angle C=\angle F=60^\circ. \]
Двух равных углов уже достаточно для подобия, поэтому
\[ \triangle ABC\sim\triangle DEF. \]
Соответствие вершин: \(A\leftrightarrow D\), \(B\leftrightarrow E\), \(C\leftrightarrow F\).
Задача 2. По двум сторонам и углу между ними
В треугольнике \(ABC\) стороны \(AB\) и \(AC\) образуют угол \(A\).
В треугольнике \(DEF\) стороны \(DE\) и \(DF\) образуют угол \(D\).
Проверяем отношения:
\[ \frac{AB}{DE}=\frac{6}{4}=\frac{3}{2}, \qquad \frac{AC}{DF}=\frac{9}{6}=\frac{3}{2}. \]
При этом
\[ \angle A=\angle D=60^\circ, \]
и это угол именно между взятыми сторонами. По признаку подобия по двум сторонам и углу между ними:
\[ \triangle ABC\sim\triangle DEF. \]
Задача 3. По трём сторонам
Сравниваем соответствующие стороны — меньшую с меньшей, среднюю со средней, большую с большей:
\[ \frac{AB}{DE}=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}, \]
\[ \frac{BC}{EF}=\frac{6}{9}=\frac{2}{3}, \]
\[ \frac{AC}{DF}=\frac{8}{12}=\frac{2}{3}. \]
Все три отношения равны, значит, стороны одного треугольника пропорциональны сторонам другого. По признаку подобия по трём сторонам:
\[ \triangle ABC\sim\triangle DEF. \]
Как рассуждать в похожей задаче
- Два угла: найди две пары равных углов; третий угол автоматически тоже будет равен.
- Две стороны и угол: равный угол должен лежать между пропорциональными сторонами.
- Три стороны: обязательно сравнивай соответствующие стороны: наименьшую с наименьшей, наибольшую с наибольшей.
Проверка: в первой задаче \(50^\circ+70^\circ+60^\circ=180^\circ\), а во второй и третьей все отношения совпали — значит, подобие доказано верно.
