как решать номер 393
Сверь числа и знаки с фото.
- Упростите выражение: а) \(\sqrt{7+4\sqrt{3}}\); б) \(\sqrt{6-2\sqrt{5}}\); в) \(\sqrt{5+2\sqrt{6}}\); г) \(\sqrt{3-\sqrt{8}}\).
Коротко: \[ \sqrt{7+4\sqrt3}=2+\sqrt3,\qquad \sqrt{6-2\sqrt5}=\sqrt5-1, \] \[ \sqrt{5+2\sqrt6}=\sqrt3+\sqrt2,\qquad \sqrt{3-\sqrt8}=\sqrt2-1. \]
Как решать. Главный приём — «спрятать» под корнем полный квадрат: \[ a^2\pm 2ab+b^2=(a\pm b)^2. \] После этого используем: \[ \sqrt{x^2}=|x|. \]
\(\sqrt{7+4\sqrt3}\). \[ 7+4\sqrt3=4+4\sqrt3+3=(2+\sqrt3)^2. \] Поэтому \[ \sqrt{7+4\sqrt3}=\sqrt{(2+\sqrt3)^2}=2+\sqrt3. \]
\(\sqrt{6-2\sqrt5}\). \[ 6-2\sqrt5=5-2\sqrt5+1=(\sqrt5-1)^2. \] Так как \(\sqrt5>1\), модуль раскрывается с плюсом: \[ \sqrt{6-2\sqrt5}=\sqrt5-1. \]
\(\sqrt{5+2\sqrt6}\). \[ 5+2\sqrt6=3+2\sqrt6+2=(\sqrt3+\sqrt2)^2, \] поэтому \[ \sqrt{5+2\sqrt6}=\sqrt3+\sqrt2. \]
\(\sqrt{3-\sqrt8}\). Сначала: \[ \sqrt8=2\sqrt2. \] Тогда \[ 3-\sqrt8=3-2\sqrt2=2-2\sqrt2+1=(\sqrt2-1)^2. \] Значит, \[ \sqrt{3-\sqrt8}=|\sqrt2-1|=\sqrt2-1. \]
Проверка: если возвести каждый полученный ответ в квадрат, получится исходное выражение под корнем.
