Реши уравнение x² − 5x + 6 = 0

Коротко: я сравнил уравнение с общей записью \((x-p)(x-q)\) и подобрал такие \(p\) и \(q\), чтобы после раскрытия скобок получилось ровно \(x^2-5x+6\).

Шаг 1. Раскрываю общий вид \[ (x-p)(x-q)=x^2-px-qx+pq=x^2-(p+q)x+pq. \]

Шаг 2. Сравниваю с уравнением \[ x^2-5x+6=x^2-(p+q)x+pq. \] Значит, нужно, чтобы одновременно выполнялось: \[ p+q=5,\qquad pq=6. \] То есть два числа должны давать в сумме \(5\), а в произведении \(6\).

Шаг 3. Подбираю числа Начинаю с произведения \(6\) — его разложения простые: \[ 6=1\cdot6=2\cdot3. \] Проверяю суммы: \[ 1+6=7 \quad \text{— не подходит,} \] \[ 2+3=5 \quad \text{— подходит.} \] Значит, \(p=2\), \(q=3\), и \[ x^2-5x+6=(x-2)(x-3). \] (Порядок множителей не важен: \((x-2)(x-3)=(x-3)(x-2)\).)

Шаг 4. Приравниваю каждый множитель к нулю \[ x-2=0 \Rightarrow x=2;\qquad x-3=0 \Rightarrow x=3. \]

Почему это работает в общем виде. Для уравнения \(x^2+bx+c=0\) с корнями \(x_1\) и \(x_2\) (теорема Виета): \[ x_1+x_2=-b,\qquad x_1x_2=c. \] Здесь \(b=-5\), \(c=6\), поэтому \(x_1+x_2=5\), \(x_1x_2=6\) — те же самые условия, что я подбирал.

Если числа не подбираются. Способ с подбором удобен, когда корни целые. Если произведение и сумма «не складываются» из целых чисел, корни могут быть дробными или иррациональными — тогда надёжнее дискриминант: \[ x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}. \]

Мини-проверка на похожем примере: \(x^2-7x+12=0\). Нужны числа с произведением \(12\) и суммой \(7\): это \(3\) и \(4\), значит \((x-3)(x-4)=0\), откуда \(x=3\) или \(x=4\).

Да, но точнее — я пользовался не самой теоремой Виета, а её обратной теоремой. Это важное различие, и оно как раз объясняет, почему подбор вообще законен.

Прямая теорема Виета говорит: если числа \(x_1\) и \(x_2\) — корни уравнения \(x^2+px+q=0\), то \[ x_1+x_2=-p,\qquad x_1x_2=q. \] Она связывает уже найденные корни с коэффициентами, но сами корни не находит.

Обратная теорема Виета говорит: если числа \(m\) и \(n\) таковы, что \[ m+n=-p,\qquad mn=q, \] то они являются корнями уравнения \(x^2+px+q=0\). Доказательство — ровно то разложение, которое я делал: \[ x^2+px+q=x^2-(m+n)x+mn=(x-m)(x-n). \]

Именно обратной теоремой я и пользовался: искал числа с суммой \(5\) и произведением \(6\), а потом получил \((x-2)(x-3)\).

Для общего вида \(ax^2+bx+c=0\) (\(a\neq 0\)) формулы Виета такие: \[ x_1+x_2=-\frac{b}{a},\qquad x_1x_2=\frac{c}{a}, \] а разложение имеет вид \[ ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2). \]

Пример, где корни не целые: \(2x^2-7x+3=0\). Здесь \[ x_1+x_2=\frac{7}{2}=3{,}5,\qquad x_1x_2=\frac{3}{2}=1{,}5. \] Подходят \(3\) и \(0{,}5\), поэтому \[ 2x^2-7x+3=2(x-3)\left(x-\frac{1}{2}\right). \]

Вывод: подбор «сумма и произведение» — это применение обратной теоремы Виета (или, что то же самое, теоремы о разложении квадратного трёхчлена на множители). Дискриминант — более универсальный инструмент: он работает всегда, а подбор удобен, когда корни легко угадываются.