зделай
Сверь числа и знаки с фото.
Задача 1. По двум углам В треугольнике ABC: ∠A = 50°, ∠B = 70°. В треугольнике DEF: ∠D = 50°, ∠E = 70°. Докажите, что треугольники ABC и DEF подобны. Задача 2. По двум сторонам и углу между ними В треугольнике ABC: AB = 6 см, AC = 9 см, ∠A = 60°. В треугольнике DEF: DE = 4 см, DF = 6 см, ∠D = 60°. Докажите, что треугольники подобны. Задача 3. По трём сторонам Дан треугольник ABC со сторонами: AB = 4 см, BC = 6 см, AC = 8 см. Треугольник DEF имеет стороны: DE = 6 см, EF = 9 см, DF = 12 см. [обрезано]
Краткий ответ. Все три пары треугольников подобны: в задаче 1 — по двум углам, в задаче 2 — по двум сторонам и углу между ними (коэффициент \(k=\frac{3}{2}\)), в задаче 3 — по трём сторонам (\(k=\frac{2}{3}\)).
Задача 1. По двум углам
Сумма углов любого треугольника равна \(180^\circ\), поэтому третьи углы тоже находятся:
\[ \angle C = 180^\circ - 50^\circ - 70^\circ = 60^\circ, \qquad \angle F = 180^\circ - 50^\circ - 70^\circ = 60^\circ \]
Получаем: \(\angle A=\angle D=50^\circ\), \(\angle B=\angle E=70^\circ\) (и \(\angle C=\angle F=60^\circ\)). Двух пар равных углов достаточно — это первый признак подобия:
\[ \triangle ABC \sim \triangle DEF \]
Соответствие вершин: \(A \leftrightarrow D\), \(B \leftrightarrow E\), \(C \leftrightarrow F\).
Задача 2. По двум сторонам и углу между ними
Сравниваем стороны, образующие угол: \(AB\) и \(AC\) вокруг \(\angle A\), \(DE\) и \(DF\) вокруг \(\angle D\).
\[ \frac{AB}{DE}=\frac{6}{4}=\frac{3}{2}, \qquad \frac{AC}{DF}=\frac{9}{6}=\frac{3}{2}, \qquad \angle A=\angle D=60^\circ \]
Две стороны пропорциональны, а углы между этими сторонами равны — второй признак подобия:
\[ \triangle ABC \sim \triangle DEF, \qquad k=\frac{3}{2}=1{,}5 \]
Отсюда, между прочим, и третья сторона в том же отношении: \(BC:EF=3:2\).
Задача 3. По трём сторонам
В кадре обрезана последняя строка условия, но по заголовку «По трём сторонам» нужно доказать подобие — это и делаем.
Сопоставляем стороны «по величине»: меньшая — с меньшей, большая — с большей.
\[ \frac{AB}{DE}=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}, \qquad \frac{BC}{EF}=\frac{6}{9}=\frac{2}{3}, \qquad \frac{AC}{DF}=\frac{8}{12}=\frac{2}{3} \]
Все три отношения равны, значит, третий признак выполнен:
\[ \triangle ABC \sim \triangle DEF, \qquad k=\frac{2}{3} \]
Соответствие: \(AB \leftrightarrow DE\), \(BC \leftrightarrow EF\), \(AC \leftrightarrow DF\).
Принцип, который стоит запомнить
- Два угла (AA): хватает двух равных углов — третий получится автоматически.
- Две стороны и угол (SAS): стороны должны быть пропорциональны, а равный угол — обязательно между ними.
- Три стороны (SSS): все три отношения должны быть равны; стороны сравниваем в «правильном» порядке — против большей стороны в одном треугольнике лежит большая сторона в другом.
Проверка. В задаче 3, если бы мы ошибочно взяли \(\frac{4}{9}\), отношение не совпало бы с остальными — значит, подобия по такому соответствию нет. Именно совпадение всех трёх отношений и доказывает подобие.
Обсуждение
4 сообщенияРешение и ответ
Ниже — чистовое оформление: для каждой задачи «дано → решение → ответ».
Задача 1
Дано: \(\angle A=50^\circ\), \(\angle B=70^\circ\); \(\angle D=50^\circ\), \(\angle E=70^\circ\).
Решение. \[ \angle C=180^\circ-50^\circ-70^\circ=60^\circ,\qquad \angle F=180^\circ-50^\circ-70^\circ=60^\circ \] Значит, \(\angle A=\angle D\), \(\angle B=\angle E\), \(\angle C=\angle F\). Треугольники подобны по двум равным углам (третий угол получается автоматически).
Ответ: \(\triangle ABC\sim\triangle DEF\) (углы попарно равны: \(50^\circ\), \(70^\circ\), \(60^\circ\)). Коэффициент подобия по углам не определяется — для него нужны стороны.
Задача 2
Дано: \(AB=6\), \(AC=9\), \(\angle A=60^\circ\); \(DE=4\), \(DF=6\), \(\angle D=60^\circ\).
Решение. Угол лежит между указанными сторонами, поэтому проверяем два отношения: \[ \frac{AB}{DE}=\frac{6}{4}=\frac{3}{2},\qquad \frac{AC}{DF}=\frac{9}{6}=\frac{3}{2} \] Стороны пропорциональны, а углы между ними равны — второй признак подобия выполнен.
Ответ: \(\triangle ABC\sim\triangle DEF\), коэффициент подобия \(k=\frac{3}{2}=1{,}5\); тогда и \(BC:EF=3:2\).
Задача 3
Дано: \(AB=4\), \(BC=6\), \(AC=8\); \(DE=6\), \(EF=9\), \(DF=12\).
Решение. Сравниваем стороны, начиная с меньших: \[ \frac{AB}{DE}=\frac{4}{6}=\frac{2}{3},\qquad \frac{BC}{EF}=\frac{6}{9}=\frac{2}{3},\qquad \frac{AC}{DF}=\frac{8}{12}=\frac{2}{3} \] Все три отношения равны — третий признак подобия выполнен.
Ответ: \(\triangle ABC\sim\triangle DEF\), коэффициент подобия \(k=\frac{2}{3}\).
Общий вывод по всем трём пунктам: треугольники каждой пары подобны, но доказательство каждый раз опирается на свой признак — два угла, две стороны с углом между ними, три стороны. Именно умение выбрать подходящий признак здесь и проверяется.
Зделай с дано
Оформляю каждую задачу в стандартном виде: Дано → Доказать → Доказательство → Вывод.
Задача 1. По двум углам
Дано: \(\triangle ABC\) и \(\triangle DEF\); \(\angle A=50^\circ\), \(\angle B=70^\circ\), \(\angle D=50^\circ\), \(\angle E=70^\circ\).
Доказать: \(\triangle ABC\sim\triangle DEF\).
Доказательство.
- Сумма углов треугольника равна \(180^\circ\), поэтому \[ \angle C=180^\circ-(50^\circ+70^\circ)=60^\circ,\qquad \angle F=180^\circ-(50^\circ+70^\circ)=60^\circ. \]
- Получили три пары равных углов: \[ \angle A=\angle D=50^\circ,\quad \angle B=\angle E=70^\circ,\quad \angle C=\angle F=60^\circ. \]
- По первому признаку подобия (по двум равным углам) треугольники подобны.
Вывод: \(\triangle ABC\sim\triangle DEF\) с соответствием вершин \(A\leftrightarrow D\), \(B\leftrightarrow E\), \(C\leftrightarrow F\). Коэффициент подобия по углам не находится — нужны стороны.
Задача 2. По двум сторонам и углу между ними
Дано: \(\triangle ABC\): \(AB=6\), \(AC=9\), \(\angle A=60^\circ\); \(\triangle DEF\): \(DE=4\), \(DF=6\), \(\angle D=60^\circ\).
Доказать: \(\triangle ABC\sim\triangle DEF\).
Доказательство.
- Угол \(A\) лежит между сторонами \(AB\) и \(AC\), угол \(D\) — между \(DE\) и \(DF\).
- Сравним отношения этих сторон: \[ \frac{AB}{DE}=\frac{6}{4}=\frac{3}{2},\qquad \frac{AC}{DF}=\frac{9}{6}=\frac{3}{2}. \]
- Отношения равны, а углы между соответствующими сторонами равны: \(\angle A=\angle D=60^\circ\). По второму признаку подобия треугольники подобны.
Вывод: \(\triangle ABC\sim\triangle DEF\), коэффициент подобия \(k=\frac{3}{2}=1{,}5\); значит, и \(\frac{BC}{EF}=\frac{3}{2}\).
Задача 3. По трём сторонам
Дано: \(\triangle ABC\): \(AB=4\), \(BC=6\), \(AC=8\); \(\triangle DEF\): \(DE=6\), \(EF=9\), \(DF=12\).
Доказать: \(\triangle ABC\sim\triangle DEF\).
Доказательство.
- Сопоставляем стороны по величине: меньшая с меньшей, средняя со средней, большая с большей.
- Считаем отношения: \[ \frac{AB}{DE}=\frac{4}{6}=\frac{2}{3},\qquad \frac{BC}{EF}=\frac{6}{9}=\frac{2}{3},\qquad \frac{AC}{DF}=\frac{8}{12}=\frac{2}{3}. \]
- Все три отношения равны, значит, по третьему признаку подобия треугольники подобны.
Вывод: \(\triangle ABC\sim\triangle DEF\), коэффициент подобия \(k=\frac{2}{3}\).
Коротко о признаках
| Признак | Что проверяем | Подводный камень |
|---|---|---|
| Первый (по углам) | два равных угла | третий угол считать не обязательно, но можно для контроля |
| Второй (по двум сторонам и углу) | две пропорциональные стороны + равный угол | угол обязан быть между этими сторонами |
| Третий (по трём сторонам) | три равных отношения | стороны сравнивать по величине, а не «как написано» |
Все три пункта сходятся: подобие доказано, и в каждом случае работает свой признак.
