272. Упростите выражение: а) a/(a-b) + 3a/(a+b) - 2ab/(a²-b²);

Краткий ответ

\[ \frac{a}{a-b}+\frac{3a}{a+b}-\frac{2ab}{a^2-b^2}=\frac{4a}{a+b},\qquad a\ne b,\ a\ne -b. \]

Как это получить

1. Разложи последний знаменатель. По формуле разности квадратов:

\[ a^2-b^2=(a-b)(a+b). \]

Значит, общий знаменатель всех трёх дробей — \((a-b)(a+b)\).

2. Приведи каждую дробь к общему знаменателю. Первой дроби не хватает множителя \((a+b)\), второй — \((a-b)\), третья уже с нужным знаменателем:

\[ \frac{a(a+b)}{(a-b)(a+b)}+\frac{3a(a-b)}{(a-b)(a+b)}-\frac{2ab}{(a-b)(a+b)}. \]

3. Сложи числители (знаменатель общий, его переписываем):

\[ \frac{a(a+b)+3a(a-b)-2ab}{(a-b)(a+b)}. \]

Раскрой скобки:

\[ a^2+ab+3a^2-3ab-2ab=4a^2-4ab. \]

4. Разложи числитель и сократи:

\[ \frac{4a^2-4ab}{(a-b)(a+b)}=\frac{4a(a-b)}{(a-b)(a+b)}=\frac{4a}{a+b}. \]

Сокращать на \(a-b\) можно только при \(a\ne b\); ещё нельзя допускать \(a=-b\), иначе знаменатель обращается в ноль.

Проверка

Возьми \(a=2,\ b=1\):

\[ \frac{2}{1}+\frac{6}{3}-\frac{4}{4-1}=2+2-\frac{4}{3}=\frac{8}{3}, \] а по полученной формуле \(\frac{4\cdot 2}{2+1}=\frac{8}{3}\). Совпало.

Главный приём: если в знаменателе стоит разность квадратов, сразу раскладывай её на \((a-b)(a+b)\) — это и есть общий знаменатель.