формулы работы, мощности, кинетической энергии материальной точки, единицы измерения

Кратко

Для материальной точки в классической механике:

• Работа постоянной силы: \[ A=Fs\cos\alpha \] или в векторном виде: \[ A=\vec F\cdot\vec s \] где \(\alpha\) — угол между силой и перемещением.

• Мощность: \[ P_{\text{ср}}=\frac{A}{t} \] Мгновенная мощность: \[ P=\frac{dA}{dt}=Fv\cos\alpha \] где \(\alpha\) — угол между силой и скоростью.

• Кинетическая энергия материальной точки: \[ E_k=\frac{mv^2}{2} \] Также через импульс \(p=mv\): \[ E_k=\frac{p^2}{2m} \]

• Связь работы и кинетической энергии: \[ A_{\text{равнодействующей}}=\Delta E_k=E_{k2}-E_{k1} \]

Единицы измерения в СИ

• Работа и энергия измеряются в джоулях: \[ 1\ \text{Дж}=1\ \text{Н}\cdot\text{м} =1\ \frac{\text{кг}\cdot\text{м}^2}{\text{с}^2} \]

• Мощность измеряется в ваттах: \[ 1\ \text{Вт}=1\ \frac{\text{Дж}}{\text{с}} =1\ \frac{\text{Н}\cdot\text{м}}{\text{с}} =1\ \frac{\text{кг}\cdot\text{м}^2}{\text{с}^3} \]

• Кинетическая энергия, как и любая энергия, измеряется в джоулях: \[ [E_k]=1\ \text{Дж} \]

Часто используют: \[ 1\ \text{кДж}=10^3\ \text{Дж},\qquad 1\ \text{МДж}=10^6\ \text{Дж} \] \[ 1\ \text{кВт}=10^3\ \text{Вт} \] \[ 1\ \text{кВт}\cdot\text{ч}=3{,}6\cdot10^6\ \text{Дж} \]

Как понимать формулы

1. Работа показывает, сколько энергии передано телу силой. Если сила перпендикулярна перемещению, то \(\cos 90^\circ=0\), и работа равна нулю. Если угол тупой, работа отрицательная.

2. Мощность — это скорость совершения работы. Чем быстрее совершается одна и та же работа, тем больше мощность. Формула \(P=Fv\cos\alpha\) удобна, когда известна скорость тела.

3. Кинетическая энергия — энергия движения. Она зависит от массы и квадрата скорости, поэтому при увеличении скорости вдвое кинетическая энергия возрастает в 4 раза. Кинетическая энергия не бывает отрицательной.

Проверка единиц

\[ [E_k]=\text{кг}\cdot\left(\frac{\text{м}}{\text{с}}\right)^2 =\frac{\text{кг}\cdot\text{м}^2}{\text{с}^2} =\text{Дж} \]

\[ [P]=[F][v]=\text{Н}\cdot\frac{\text{м}}{\text{с}} =\frac{\text{Дж}}{\text{с}} =\text{Вт} \]

Значит, формулы согласованы с единицами СИ.