402. Постройте график уравнения:

На фото подчёркнут № 402, поэтому разбираю его.

Краткий ответ

а) \(xy=6\) — гипербола \(y=\dfrac{6}{x}\), ветви в I и III четвертях.
б) \(y-0{,}5x^2=1\) — парабола \(y=0{,}5x^2+1\), ветви вверх, вершина \((0;1)\).
в) \(x^2+y^2=9\) — окружность с центром \((0;0)\) и радиусом \(3\).
г) \((x+1)^2+(y-1)^2=4\) — окружность с центром \((-1;1)\) и радиусом \(2\).

Как рассуждать

График уравнения — это все точки \((x;y)\), координаты которых при подстановке дают верное равенство. Поэтому сначала приводим уравнение к знакомому виду, а потом строим по опорным точкам.

а) \(xy=6\)

Выражаем \(y\): \[ y=\frac{6}{x}. \] Это обратная пропорциональность, её график — гипербола. Так как \(6>0\), ветви лежат в I и III четвертях. Берём точки:

Отмечаем точки и соединяем плавными линиями. Ветви не пересекают оси координат: они только приближаются к ним.

б) \(y-0{,}5x^2=1\)

\[ y=0{,}5x^2+1. \] Это парабола. Коэффициент при \(x^2\) положительный, значит, ветви направлены вверх. Вершина — в точке \((0;1)\), ось симметрии — ось \(Oy\). Опорные точки: \((0;1)\), \((2;3)\), \((-2;3)\), \((1;1{,}5)\), \((-1;1{,}5)\).

в) \(x^2+y^2=9\)

Уравнение окружности имеет вид \[ (x-a)^2+(y-b)^2=R^2. \] Здесь \(a=0\), \(b=0\), \(R^2=9\), поэтому \(R=3\). Центр — \((0;0)\), радиус — \(3\). Окружность проходит через точки \((3;0)\), \((-3;0)\), \((0;3)\), \((0;-3)\).

г) \((x+1)^2+(y-1)^2=4\)

Сравниваем с общим видом: центр \((-1;1)\), \(R^2=4\), значит, \(R=2\). От центра откладываем 2 единицы вправо, влево, вверх и вниз — получаем точки \((1;1)\), \((-3;1)\), \((-1;3)\), \((-1;-1)\). Через них проводим окружность.

Проверка

Подставим по одной точке:

• а) \((2;3)\): \(2\cdot3=6\) — верно;
• б) \((2;3)\): \(3-0{,}5\cdot2^2=3-2=1\) — верно;
• в) \((3;0)\): \(3^2+0^2=9\) — верно;
• г) \((1;1)\): \((1+1)^2+(1-1)^2=4\) — верно.

Главное: по виду уравнения определяем тип графика — гипербола, парабола или окружность, — а затем находим характерные точки.