06.11.26.Контрольная работа N 1 по теме”Призма,пирамида.Площади поверхности призмы,пирамиды.”
Сверь числа и знаки с фото.
- Что называется апофемой правильной пирамиды?
Часть II. Решение задач
Линейный угол двугранного угла равен 45°. Найдите величину двугранного угла.
Основание прямой призмы — квадрат со стороной 7 см. Высота призмы равна 12 см. Найдите площадь боковой поверхности призмы.
Основанием правильной четырёхугольной пирамиды является квадрат со стороной 8 см. Апофема равна 5 см. Найдите площадь боковой и полной поверхности пирамиды.
Основанием прямой треугольной призмы является прямоугольный треугольник с катетами 6 см и 8 см. Высота призмы равна 5 см. Найдите площадь полной поверхности призмы.
Кратко (по видимым заданиям 4–8):
- 4) Апофема правильной пирамиды — это высота боковой грани, проведённая из вершины пирамиды к стороне основания.
- 5) \(45^\circ\)
- 6) \(336\ \text{см}^2\)
- 7) \(S_{\text{бок}}=80\ \text{см}^2,\quad S_{\text{полн}}=144\ \text{см}^2\)
- 8) \(168\ \text{см}^2\)
Разбор
5. Линейный угол двугранного угла по определению равен величине самого двугранного угла. Поэтому ответ:
\[
45^\circ
\]
6. У прямой призмы боковые грани — прямоугольники. Основание — квадрат со стороной \(7\) см, значит, его периметр: \[ P_{\text{осн}}=4\cdot7=28\ \text{см} \] Площадь боковой поверхности: \[ S_{\text{бок}}=P_{\text{осн}}\cdot h=28\cdot12=336\ \text{см}^2 \]
7. В правильной четырёхугольной пирамиде апофема \(l=5\) см — это высота каждой боковой грани. Периметр квадрата: \[ P=4\cdot8=32\ \text{см} \] Площадь боковой поверхности: \[ S_{\text{бок}}=\frac12 P l=\frac12\cdot32\cdot5=80\ \text{см}^2 \] Площадь основания: \[ S_{\text{осн}}=8^2=64\ \text{см}^2 \] Полная поверхность: \[ S_{\text{полн}}=80+64=144\ \text{см}^2 \]
8. Сначала найдём гипотенузу прямоугольного треугольника в основании: \[ c=\sqrt{6^2+8^2}=\sqrt{100}=10\ \text{см} \] Площадь основания: \[ S_{\text{осн}}=\frac12\cdot6\cdot8=24\ \text{см}^2 \] Периметр основания: \[ P=6+8+10=24\ \text{см} \] Боковая поверхность: \[ S_{\text{бок}}=24\cdot5=120\ \text{см}^2 \] Полная поверхность: \[ S_{\text{полн}}=2\cdot24+120=168\ \text{см}^2 \]
Проверка по граням: в №8 боковые прямоугольники дают \(6\cdot5+8\cdot5+10\cdot5=120\), два основания — \(48\), итого \(168\ \text{см}^2\).
Обсуждение
4 сообщения5
№5 — ответ: \(45^\circ\).
Почему так:
- Двугранный угол — это часть пространства между двумя полуплоскостями с общей прямой (это прямая называется ребром двугранного угла).
- Сам двугранный угол в пространстве «измерить транспортиром» нельзя, поэтому вводят его линейный угол: на ребре берут точку и в каждой грани проводят перпендикуляр к ребру. Угол между этими перпендикулярами и есть линейный угол.
- Главное свойство: величина линейного угла не зависит от того, какую точку на ребре взяли. Поэтому по определению двугранный угол равен своему линейному углу.
Значит, если в условии линейный угол равен \(45^\circ\), то и двугранный угол равен \(45^\circ\).
Частая ошибка: проводить в гранях не перпендикуляры к ребру, а какие попало лучи — тогда угол получится другой и ответ будет неверным.
Если нужно разобрать другой пункт контрольной — напиши его номер.
Как найти апофему, если известна высота пирамиды?
Короткий ответ: одной высоты недостаточно. Для правильной пирамиды нужен ещё радиус \(r\) вписанной в основание окружности (расстояние от центра основания до стороны):
\[ l=\sqrt{h^2+r^2} \]
где \(l\) — апофема, \(h\) — высота пирамиды.
Почему так
Проведём сечение через высоту пирамиды \(SO\) и апофему \(SM\) боковой грани. Получаем прямоугольный треугольник \(SOM\) с прямым углом при \(O\):
- \(SO=h\) — катет (высота),
- \(OM=r\) — катет (отрезок от центра основания до середины стороны),
- \(SM=l\) — гипотенуза (апофема).
По теореме Пифагора: \[ l^2=h^2+r^2 \]
Как найти \(r\) для правильного \(n\)-угольника со стороной \(a\)
\[ r=\frac{a}{2\operatorname{tg}\dfrac{180^\circ}{n}} \]
Частые случаи:
| Основание | \(r\) | Апофема |
|---|---|---|
| квадрат | \(r=\dfrac{a}{2}\) | \(l=\sqrt{h^2+\dfrac{a^2}{4}}\) |
| правильный треугольник | \(r=\dfrac{a\sqrt3}{6}\) | \(l=\sqrt{h^2+\dfrac{a^2}{12}}\) |
| правильный шестиугольник | \(r=\dfrac{a\sqrt3}{2}\) | \(l=\sqrt{h^2+\dfrac{3a^2}{4}}\) |
Пример
Правильная четырёхугольная пирамида: \(h=4\) см, сторона основания \(a=6\) см.
\[ r=\frac{6}{2}=3\ \text{см},\qquad l=\sqrt{4^2+3^2}=\sqrt{25}=5\ \text{см} \]
Обратная задача
Если известны апофема и высота, то: \[ r=\sqrt{l^2-h^2} \] а если известны \(l\) и \(r\), то: \[ h=\sqrt{l^2-r^2} \]
Важное замечание
Формула \(l=\sqrt{h^2+r^2}\) работает только когда основание высоты — центр вписанной окружности (так всегда в правильной пирамиде). В неправильной пирамиде «апофемы» как общего понятия нет: расстояние от вершины до разных сторон основания будет разным, и высоты для его нахождения недостаточно.
Если пришлёшь конкретную задачу — подставлю числа и проверю ответ.
