День 1. Информация и кодирование

Небольшая поправка к твоей записи: формула Хартли — \(N = 2^{i}\). С неё и начнём.

1. Единицы информации

Бит — минимальная единица: один бит хранит 0 или 1, то есть выбор из двух вариантов.

\[1 \text{ байт} = 8 \text{ бит} = 2^{3} \text{ бит}\]

Дальше шаг 1024 = \(2^{10}\):

Единица	В битах	В байтах
1 байт	\(2^{3}\)	1
1 КБ	\(2^{13}\)	\(2^{10}=1024\)
1 МБ	\(2^{23}\)	\(2^{20}=1\,048\,576\)
1 ГБ	\(2^{33}\)	\(2^{30}=1\,073\,741\,824\)

Правило перевода: в байты — делим на 8, в биты — умножаем на 8; между КБ, МБ, ГБ — умножаем или делим на 1024.

Степени двойки надо знать наизусть — это половина успеха:

\(2^0\)	\(2^1\)	\(2^2\)	\(2^3\)	\(2^4\)	\(2^5\)	\(2^6\)	\(2^7\)	\(2^8\)	\(2^{9}\)	\(2^{10}\)
1	2	4	8	16	32	64	128	256	512	1024

Плюс: \(2^{12}=4096\), \(2^{13}=8192\), \(2^{14}=16384\), \(2^{15}=32768\), \(2^{16}=65536\), \(2^{20}\approx 10^6\), \(2^{24}=16\,777\,216\), \(2^{32}\approx 4\cdot 10^{9}\).

2. Формула Хартли: \(N = 2^{i}\)

• \(N\) — мощность алфавита (или число цветов, или число вариантов);
• \(i\) — сколько бит нужно на один символ (пиксель, вариант).

Обратная запись: \(i = \log_{2} N\), и если \(N\) не степень двойки, округляем вверх.

• \(N=8 \Rightarrow i=3\);
• \(N=64 \Rightarrow i=6\);
• \(N=70\): \(2^{6}=64 < 70 \le 128=2^{7} \Rightarrow i=7\);
• \(N=256 \Rightarrow i=8\) бит \(=1\) байт.

3. Объём текста: \(I = K \cdot i\)

\(K\) — количество символов, \(i\) — бит на символ, \(I\) — информационный объём.

Задача 1. Текст 32 символа, алфавит 64 символа. Найти объём. \[i=6,\quad I=32\cdot 6 = 192 \text{ бита} = 24 \text{ байта}\]

Задача 2. Статья: 20 страниц, 40 строк, по 64 символа, 1 байт на символ. \[K = 20\cdot 40\cdot 64 = 51\,200 \text{ символов}\] \[I = 51\,200 \text{ байт} = 51\,200 : 1024 = 50 \text{ КБ}\]

Задача 3. Сообщение 4 КБ в 16-битной кодировке. Сколько символов? \[4 \text{ КБ} = 4096 \text{ байт} = 32\,768 \text{ бит}\] \[K = 32\,768 : 16 = 2048 \text{ символов}\]

4. ASCII и Unicode, перекодировка

• ASCII (однобайтная) — \(i=8\) бит на символ, до 256 символов;
• Unicode — обычно \(i=16\) бит на символ (иногда 32).

При перекодировке число символов \(K\) не меняется, меняется только \(i\).

Задача 4. Текст 500 символов перекодировали из 8-битной в 16-битную. Было \(500\) байт, стало \(1000\) байт — объём вырос на \(500\) байт (в 2 раза).

5. Графика (базово)

Картинка — это набор пикселей, каждый кодируется \(i\) битами (глубина цвета).

\[K = \text{ширина} \times \text{высота},\qquad I = K\cdot i,\qquad N_{\text{цветов}} = 2^{i}\]

Задача 5. Рисунок 1024 × 768, палитра 16 цветов. \[i=4,\quad K=786\,432,\quad I = 786\,432\cdot 4 = 3\,145\,728 \text{ бит}\] \[= 393\,216 \text{ байт} = 384 \text{ КБ}\]

Задача 6. Фото 1280 × 1024, 16 бит на пиксель. \[K = 1\,310\,720,\quad I = 1\,310\,720\cdot 16 \text{ бит} = 2\,621\,440 \text{ байт} = 2560 \text{ КБ} = 2{,}5 \text{ МБ}\]

Полезно помнить: 256 цветов — это 1 байт на пиксель, тогда объём в байтах просто равен числу пикселей.

6. Звук (базово)

\[I = f \cdot t \cdot i \cdot k\]

\(f\) — частота дискретизации в Гц, \(t\) — время в секундах, \(i\) — глубина звука в битах, \(k\) — число каналов (моно 1, стерео 2).

Задача 7. Запись 4 с, 16 000 Гц, 16 бит, моно. \[\]I = 16,000\cdot 4\cdot 16 = 1,024,000 \text{ бит} = 128,000 \text{ байт} = 125 \text{ КБ}]

7. Алгоритм решения любой такой задачи

1. Выписать, что дано: \(K\), \(N\), \(i\), время, частота.
2. Если дано \(N\) — найти \(i = \log_{2} N\) с округлением вверх.
3. Подставить в формулу: \(I = K\cdot i\) (текст, графика) или \(I = f\cdot t\cdot i\cdot k\) (звук).
4. Привести к нужным единицам, деля или умножая на 8 и на 1024.
5. Проверить, что ответ не «раздулся»: текст в КБ — это тысячи символов, картинка — сотни КБ.

8. Ловушки, из-за которых теряют баллы

• Путают биты и байты: ответ в битах, а спрашивают байты (или наоборот).
• Берут \(i\) для \(N=70\) равным 6, хотя нужно 7 — округление всегда вверх.
• Забывают, что при перекодировке \(K\) не меняется.
• В звуке забывают умножить на число каналов или перепутали Гц и кГц (16 кГц = 16 000 Гц).
• Считают 1 КБ = 1000 байт — в школьных задачах 1024.

9. Мини-тест на сегодня (это и есть твоя диагностика)

1. Сколько бит в \(\frac{1}{4}\) КБ? 2. Алфавит 32 символа, текст 100 символов. Объём? 3. 4 страницы × 32 строки × 64 символа, 1 байт на символ. Объём в КБ? 4. Сообщение 2 КБ, 16 бит на символ. Сколько символов? 5. Глубина цвета 6 бит. Сколько цветов в палитре? 6. Рисунок 256 × 512, 256 цветов. Объём в КБ? 7. Звук 4 с, 16 кГц, 16 бит, моно. Объём в КБ? 8. Что больше: 3 КБ или 25 000 бит? 9. Текст 500 символов перекодировали из 8-битной в 16-битную. Как изменился объём? 10. Алфавит 70 символов. Сколько бит на один символ?

Ответы — сверяй только после решения

1. \(2048\) бит (256 байт).
2. \(i=5\), \(I=500\) бит.
3. \(8192\) символа \(= 8192\) байт \(= 8\) КБ.
4. \(2048\cdot 8 = 16\,384\) бит \(:16 = 1024\) символа.
5. \(2^{6}=64\) цвета.
6. \(131\,072\) пикселя \(= 131\,072\) байт \(= 128\) КБ.
7. \(125\) КБ.
8. \(3\) КБ \(= 24\,576\) бит \(<\) \(25\,000\) бит, больше второе.
9. Вырос на 500 байт, то есть в 2 раза (с 500 до 1000 байт).
10. \(2^{6}<70\le 2^{7} \Rightarrow 7\) бит.

Если в 1–2 пунктах ошибка — это нормально для первого дня: выпиши их в журнал ошибок. Завтра по плану двоичная система счисления, и без степеней двойки там делать нечего — сегодняшнюю таблицу повтори перед сном, 5 минут.

Понял: тебе нужна задача про звук, записанная обычными словами, как в варианте ОГЭ, а не в виде формулы с буквами. Держи.

Задача в нормальной формулировке

Производится четырёхканальная (квадро) звукозапись с частотой дискретизации 32 кГц и глубиной кодирования 24 бита. Запись длится 2 минуты, её результаты записываются в файл без сжатия данных. Какое из приведённых ниже чисел наиболее близко к размеру полученного файла, выраженному в мегабайтах?

1. 22
2. 44
3. 88
4. 132

Решение по шагам, словами

Шаг 1. Привести частоту к герцам. 32 кГц — это 32 000 измерений в секунду. Запись длится 2 минуты, то есть 120 секунд. Значит, всего сделано

\[32\,000 \cdot 120 = 3\,840\,000 \text{ измерений}\]

Шаг 2. Учесть глубину кодирования. Каждое измерение занимает 24 бита, поэтому на один канал уйдёт

\[3\,840\,000 \cdot 24 = 92\,160\,000 \text{ бит}\]

Шаг 3. Учесть число каналов. Запись четырёхканальная, то есть звук пишется с четырёх микрофонов одновременно:

\[92\,160\,000 \cdot 4 = 368\,640\,000 \text{ бит}\]

Шаг 4. Перевести в мегабайты. Сначала в байты — делим на 8, потом в мегабайты — делим на 1024 дважды:

\[368\,640\,000 : 8 = 46\,080\,000 \text{ байт}\] \[46\,080\,000 : 1024 \approx 45\,000 \text{ КБ}\] \[45\,000 : 1024 \approx 43{,}9 \text{ МБ}\]

Ближе всего 44 МБ. Ответ: 2.

Ещё две задачи для тренировки (тоже словами)

Задача А. Производится одноканальная (моно) звукозапись с частотой дискретизации 16 кГц и глубиной кодирования 16 бит. Запись длится 1 минуту, сжатие не применяется. Сколько килобайт займёт файл?

Задача Б. Производится двухканальная (стерео) звукозапись с частотой дискретизации 8 кГц и глубиной кодирования 8 бит. Запись длится 30 секунд. Сколько килобайт займёт файл?

Ответы

Задача А: \(16\,000\cdot 60\cdot 16 = 15\,360\,000\) бит \(= 1\,920\,000\) байт \(\approx 1875\) КБ.

Задача Б: \(8000\cdot 30\cdot 8 = 1\,920\,000\) бит \(:8 = 240\,000\) байт \(\approx 234\) КБ.

Что важно ловить в формулировках

• «кГц» — обязательно переводи в герцы: 16 кГц = 16 000 Гц, а не 16.
• «минуты» — переводи в секунды: 2 минуты = 120 с.
• «моно / стерео / квадро» — это 1, 2 и 4 канала, на это число нужно умножать.
• «без сжатия» — значит, считаем полный объём, ничего не уменьшаем.
• Вопрос «наиболее близко» означает, что ответ можно округлить, точное совпадение не требуется.

Проверь себя: если в задаче А у тебя получилось 1875 КБ, а не 187,5 — значит, ты забыла, что 1 КБ = 1024 байта, а не 1000. Это одна из самых частых ошибок, запиши её в журнал.