номер 336

Краткий ответ: да, хорда, не проходящая через центр окружности, строго меньше диаметра.

Доказательство

Пусть \(O\) — центр окружности, \(AB\) — хорда, \(R\) — радиус, причём хорда не проходит через \(O\).

1. Точки \(A\) и \(B\) лежат на окружности, поэтому \[ OA=OB=R. \]

2. Точки \(A\), \(O\), \(B\) не лежат на одной прямой: иначе хорда \(AB\) проходила бы через центр. Значит, \(AOB\) — настоящий треугольник.

3. В треугольнике каждая сторона меньше суммы двух других: \[ AB<OA+OB=R+R=2R. \]

4. Но \(2R\) — это диаметр окружности. Следовательно, \[ AB<d. \]

Почему это работает: равенство \(AB=2R\) возможно только тогда, когда \(A\), \(O\), \(B\) лежат на одной прямой, то есть когда хорда проходит через центр и является диаметром. Поэтому условие «не проходящая через центр» существенно.