Решить

Ответ

\[ x \in \left(-\infty;\ \frac{9-\sqrt{85}}{2}\right)\cup\left(\frac{9+\sqrt{85}}{2};\ +\infty\right) \]

то есть примерно \(x<-0{,}11\) или \(x>9{,}11\).

Принцип: как решают квадратное неравенство

Любое неравенство вида \(ax^2+bx+c>0\) (или \(<0\)) решается в три хода: собрать всё с одной стороны → найти нули → расставить знаки по параболе.

1. Переносим всё в левую часть. Слагаемые из правой части переходят влево с противоположным знаком (сам знак неравенства при переносе не меняется):

\[ x^2-3x+2-6x-3>0 \]

\[ x^2-9x-1>0 \]

2. Находим нули левой части — решаем уравнение \(x^2-9x-1=0\):

\[ D=(-9)^2-4\cdot 1\cdot(-1)=81+4=85 \]

\[ x_{1,2}=\frac{9\pm\sqrt{85}}{2} \]

Корни иррациональные, «красивых» чисел тут не будет — это нормально, ответ так и записывается.

3. Определяем знак. Старший коэффициент \(a=1>0\), значит парабола \(y=x^2-9x-1\) смотрит ветвями вверх. Она положительна снаружи между корнями и отрицательна между ними. Нам нужен знак \(>0\), поэтому берём внешние промежутки. Неравенство строгое — скобки круглые, корни не включаем:

\[ x<\frac{9-\sqrt{85}}{2}\quad\text{или}\quad x>\frac{9+\sqrt{85}}{2} \]

Проверка

• \(x=0\) (между корнями): слева \(2\), справа \(3\); \(2>3\) — неверно, точка не входит в ответ. ✔
• \(x=-1\): слева \(1+3+2=6\), справа \(-6+3=-3\); \(6>-3\) — верно. ✔
• \(x=10\): слева \(100-30+2=72\), справа \(60+3=63\); \(72>63\) — верно. ✔

Что запомнить для похожих заданий: знак квадратичной функции определяется только направлением ветвей и корнями; при строгом неравенстве корни всегда выкалываются, а при \(D<0\) знак всюду совпадает со знаком \(a\).