Реши 20.2 и 20.3

Краткий ответ

20.2 (на фото видны пункты 1–2)

1. \(x=-25^\circ+180^\circ k\).
2. Корней нет.

20.3

1. \(x=\dfrac{\pi}{2}+\pi k,\qquad x=\dfrac{\pi}{24}+\dfrac{\pi n}{6}\).
2. \(x=\dfrac{\pi k}{2}\).
3. \(x=\dfrac{\pi k}{2},\qquad x=\dfrac{\pi}{16}+\dfrac{\pi n}{8}\).
4. \(x=\dfrac{\pi k}{5},\qquad x=\dfrac{\pi n}{7}\).

Здесь \(k,n\in\mathbb Z\).

Примечание: в 20.3 п. 3 я прочитал множитель как \(\sin 3x\). Если в книге стоит \(\sin 9x\), этот пункт нужно переснять крупнее. Остальные пункты 20.2 на фото обрезаны.

Как решались

Главный приём — превращать произведения тригонометрических функций в суммы:

\[ \cos A\cos B=\frac12\bigl(\cos(A+B)+\cos(A-B)\bigr), \] \[ \sin A\sin B=\frac12\bigl(\cos(A-B)-\cos(A+B)\bigr), \] \[ \sin A\cos B=\frac12\bigl(\sin(A+B)+\sin(A-B)\bigr). \]

20.2

1) \[ \cos(70^\circ+x)\cos(x-20^\circ) =\frac12\cos(2x+50^\circ). \] Тогда \[ \frac12\cos(2x+50^\circ)=\frac12 \Rightarrow \cos(2x+50^\circ)=1. \] Значит, \[ 2x+50^\circ=360^\circ k,\qquad x=-25^\circ+180^\circ k. \]

2) \[ \sin(40^\circ+x)\sin(x-50^\circ) =-\frac12\cos(2x-10^\circ). \] Левая часть принимает значения от \(-\frac12\) до \(\frac12\), поэтому она не может равняться \(1\). Корней нет.

20.3

1) \[ (\cos5x+\cos7x)-(\sin5x+\sin7x)=0, \] \[ 2\cos6x\cos x-2\sin6x\cos x=0, \] \[ 2\cos x(\cos6x-\sin6x)=0. \] Отсюда \(\cos x=0\) или \(\tan6x=1\).

2) \[ \cos10x\cos6x-\cos^2 8x=0, \] \[ \frac{\cos16x+\cos4x}{2}-\frac{1+\cos16x}{2}=0, \] \[ \cos4x=1. \]

3. при чтении \(\sin3x\): \[ \sin x\cos5x-\sin3x\cos7x =\frac12(\sin6x-\sin10x)=0. \] Значит, \(\sin6x=\sin10x\).

4. \[ \sin x\sin3x+\sin4x\sin8x=0, \] \[ \frac12(\cos2x-\cos4x)+\frac12(\cos4x-\cos12x)=0, \] \[ \cos2x-\cos12x=0, \] \[ 2\sin7x\sin5x=0. \]