В идеальном колебательном контуре (см. рисунок) напряжение между обкладками конденсатора меняется по закону U_C = U_0 cos ωt, где U_0 = 5 В, ω = 1000π с⁻¹.
Реши задание на изображении
Сверь числа и знаки с фото.
13 11 В идеальном колебательном контуре (см. рисунок) напряжение между обкладками конденсатора меняется по закону \(U_C = U_0 \cos \omega t\), где \(U_0 = 5\) В, \(\omega = 1000\pi\) с⁻¹. Определите период колебаний напряжения на конденсаторе. [Рисунок: идеальный колебательный контур, состоящий из катушки \(L\) и конденсатора \(C\).] Ответ: ___ с.
13 12 В колебательном контуре (см. рисунок) напряжение между обкладками конденсатора меняется по закону \(U_C = U_0 \cos \omega t\), где \(U_0 = 3\) В, \(\omega = \pi \cdot 10^4\) с⁻¹. Определите период колебаний силы тока в контуре. [Рисунок: колебательный контур, состоящий из катушки \(L\) и конденсатора \(C\).] Ответ: ___ мкс.
13 13 На рисунке приведён график зависимости силы тока от времени в идеальном колебательном контуре. Сколько раз энергия катушки достигает максимального значения в течение первых 6 мкс после начала отсчёта? [Рисунок: график зависимости силы тока от времени; по вертикальной оси \(I\), мА: 5, 0, −5; по горизонтальной оси \(t\), мкс: 1, 2, 3, 4, 5, 6; синусоида с максимумами при \(t=1\) и \(t=5\) мкс, минимумом при \(t=3\) мкс, нули при \(t=0, 2, 4, 6\) мкс.] Ответ: ___.
13 14 На рисунке приведён график зависимости силы тока от времени в колебательном контуре. Сколько раз энергия электрического поля конденсатора достигает минимального значения в течение первых 4 мкс после начала отсчёта? [Рисунок: график зависимости силы тока от времени; по вертикальной оси \(I\), мА: 5, 0, −5; по горизонтальной оси \(t\), мкс: 1, 2, 3, 4, 5, 6; синусоида с максимумами при \(t=1\) и \(t=5\) мкс, минимумом при \(t=3\) мкс, нули при \(t=0, 2, 4, 6\) мкс.] Ответ: ___.
На фото четыре задачи. Кратко:
- \(0{,}002\) с, или \(2\) мс;
- \(200\) мкс;
- \(3\) раза;
- \(2\) раза.
1. Период напряжения
Период связан с циклической частотой:
\[ T=\frac{2\pi}{\omega}=\frac{2\pi}{1000\pi}=2\cdot10^{-3}. \]
Это \(0{,}002\) с, или \(2\) мс. Амплитуда \(U_0\) на период не влияет.
2. Период силы тока
В идеальном \(LC\)-контуре ток и напряжение меняются с одной и той же частотой: ток получается из заряда/напряжения, но период у него такой же. Поэтому
\[ T=\frac{2\pi}{\pi\cdot10^4}=2\cdot10^{-4}. \]
Это \(0{,}0002\) с, или \(200\) мкс.
3. Энергия катушки
Энергия магнитного поля катушки:
\[ W_L=\frac{Li^2}{2}. \]
Она максимальна, когда сила тока максимальна по модулю — неважно, положительна она или отрицательна. По графику период \(T=4\) мкс, а максимумы \(|i|\) достигаются при \(t=1\), \(3\), \(5\) мкс. В первые \(6\) мкс это происходит \(3\) раза.
4. Энергия электрического поля конденсатора
\[ W_C=\frac{q^2}{2C}. \]
Она минимальна, когда заряд конденсатора \(q=0\), то есть когда конденсатор разряжен. В \(LC\)-контуре это происходит в моменты максимального тока. В первые \(4\) мкс ток максимален по модулю при \(t=1\) и \(t=3\) мкс. Значит, энергия электрического поля минимальна \(2\) раза.
Проверка: в идеальном контуре \(W_L+W_C=\text{const}\), поэтому максимумы энергии катушки и минимумы энергии конденсатора приходятся на одни и те же моменты времени.
Обсуждение
2 сообщенияОтветы по порядку:
- \(2\) мкс
- \(0{,}5\) мкс
- \(4\) мкКл
- \(-5\) мА; если нужен модуль — \(5\) мА.
1) Период энергии магнитного поля
По графику тока период колебаний тока:
\[ T_I=4\ \text{мкс}. \]
Энергия магнитного поля пропорциональна квадрату тока:
\[ W_L=\frac{Li^2}{2}, \]
поэтому она меняется в 2 раза быстрее:
\[ T_{W_L}=\frac{T_I}{2}=\frac{4}{2}=2\ \text{мкс}. \]
2) Замена катушки
По графику напряжения период колебаний:
\[ T=2\ \text{мкс}. \]
Период колебаний контура:
\[ T=2\pi\sqrt{LC}. \]
Если индуктивность уменьшить в 4 раза, период уменьшится в \(\sqrt{4}=2\) раза:
\[ T'=\frac{T}{2}=1\ \text{мкс}. \]
Период энергии магнитного поля ещё в 2 раза меньше:
\[ T'_{W_L}=\frac{T'}{2}=0{,}5\ \text{мкс}. \]
3) Заряд конденсатора
\[ q(t)=q_{\max}\sin\frac{2\pi t}{T}. \]
\[ q(1{,}5)=4\sin\left(\frac{2\pi\cdot1{,}5}{6}\right) =4\sin\frac{\pi}{2}=4\ \text{мкКл}. \]
4) Сила тока
\[ i(t)=I_{\max}\sin\frac{2\pi t}{T}. \]
\[ i(6)=5\sin\left(\frac{2\pi\cdot6}{8}\right) =5\sin\frac{3\pi}{2}=-5\ \text{мА}. \]
То есть по модулю сила тока равна \(5\) мА, а знак означает противоположное направление.
