реши 20.4 и20.5
Сверь числа и знаки с фото.
20.4. Решите однородное тригонометрическое уравнение:
- \(4\cos^2 x + \sin x\cos x + 3\sin^2 x - 3 = 0\);
- \(\cos^2 x - 3\sin x\cos x = -1\);
- \(5\sin^2 x - 3\sin x\cos x = 2\cos^2 x\);
- \(2\sin^2 x - 5\sin x\cos x = \cos^2 x - 2\).
20.5. Решите способом введения дополнительного аргумента уравнение:
- \(\sin x - \cos x = \sqrt{\frac{3}{2}}\);
- \(\sin 2x + \cos 2x + 1 = 0\);
- \(\sqrt{2}\sin x = 2 - \sqrt{2}\cos x\);
- \(\sqrt{3}\sin 2x + \cos 2x = \sqrt{3}\).
20.4. Однородные уравнения
Приём: свободный член заменяем через \(1=\sin^2x+\cos^2x\), затем делим на \(\cos^2x\) и переходим к \(t=\tan x\). При делении проверяем, что \(\cos x=0\) не даёт решений.
\(4\cos^2x+\sin x\cos x+3\sin^2x-3=0\)
\[ 4c^2+sc+3s^2-3(s^2+c^2)=0 \Rightarrow c^2+sc=0 \] \[ c(c+s)=0 \] Ответ: \(x=\frac{\pi}{2}+\pi k\), \(x=-\frac{\pi}{4}+\pi k\).\(\cos^2x-3\sin x\cos x=-1\)
\[ c^2-3sc+1=0,\quad 1=s^2+c^2 \] \[ 2c^2-3sc+s^2=0 \Rightarrow 2-3t+t^2=0 \] Корни \(t=1\), \(t=2\).
Ответ: \(x=\frac{\pi}{4}+\pi k\), \(x=\arctan2+\pi k\).\(5\sin^2x-3\sin x\cos x=2\cos^2x\)
\[ 5s^2-3sc-2c^2=0 \Rightarrow 5t^2-3t-2=0 \] Корни \(t=1\), \(t=-\frac25\).
Ответ: \(x=\frac{\pi}{4}+\pi k\), \(x=-\arctan\frac25+\pi k\).\(2\sin^2x-5\sin x\cos x=\cos^2x-2\)
\[ 2s^2-5sc-c^2+2(s^2+c^2)=0 \] \[ 4s^2-5sc+c^2=0 \Rightarrow 4t^2-5t+1=0 \] Корни \(t=1\), \(t=\frac14\).
Ответ: \(x=\frac{\pi}{4}+\pi k\), \(x=\arctan\frac14+\pi k\).
20.5. Метод дополнительного аргумента
Приём: \(a\sin t+b\cos t=R\sin(t+\varphi)\), где \(R=\sqrt{a^2+b^2}\). Например, \(\sin x-\cos x=\sqrt2\sin\left(x-\frac{\pi}{4}\right)\).
\(\sin x-\cos x=\sqrt{\frac32}\)
\[ \sqrt2\sin\left(x-\frac{\pi}{4}\right)=\sqrt{\frac32} \] \[ \sin\left(x-\frac{\pi}{4}\right)=\frac{\sqrt3}{2} \] Ответ: \(x=\frac{\pi}{4}+(-1)^k\frac{\pi}{3}+\pi k\).\(\sin2x+\cos2x+1=0\)
\[ \sqrt2\sin\left(2x+\frac{\pi}{4}\right)=-1 \] \[ \sin\left(2x+\frac{\pi}{4}\right)=-\frac{1}{\sqrt2} \] Ответ: \(x=-\frac{\pi}{4}+\pi n\), \(x=\frac{\pi}{2}+\pi n\).\(\sqrt2\sin x=2-\sqrt2\cos x\)
\[ \sqrt2(\sin x+\cos x)=2 \] \[ \sin x+\cos x=\sqrt2 \] \[ \sqrt2\sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right)=\sqrt2 \] \[ \sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right)=1 \] Ответ: \(x=\frac{\pi}{4}+2\pi k\).\(\sqrt3\sin2x+\cos2x=\sqrt3\)
\[ 2\sin\left(2x+\frac{\pi}{6}\right)=\sqrt3 \] \[ \sin\left(2x+\frac{\pi}{6}\right)=\frac{\sqrt3}{2} \] Ответ: \(x=\frac{\pi}{12}+\pi k\), \(x=\frac{\pi}{4}+\pi k\).
Проверка: подстановкой, например, в 20.4.3 при \(t=1\): \(5-3-2=0\); в 20.5.4 при \(x=\frac{\pi}{12}\): \(\sqrt3\cdot\frac12+\frac{\sqrt3}{2}=\sqrt3\). Всё сходится.
