499. а) \(\log_2(10-5x)\); б) \(\log_6(9-x^2)\); в) \(\log_3(x-4)\); г) \(\log_{0,3}(x^2-16)\).

Кратко:

\[ \begin{aligned} \text{а) }&D(y)=(-\infty;2),\\ \text{б) }&D(y)=(-3;3),\\ \text{в) }&D(y)=(4;+\infty),\\ \text{г) }&D(y)=(-\infty;-4)\cup(4;+\infty). \end{aligned} \]

Почему так. Для логарифма \(\log_a u\) нужно, чтобы аргумент был положительным: \[ u>0. \] Основание тоже должно быть положительным и не равным 1, но здесь основания \(2\), \(6\), \(3\), \(0{,}3\) подходят.

а) \(\log_2(10-5x)\)

\[ 10-5x>0 \ \Rightarrow\ -5x>-10 \ \Rightarrow\ x<2. \]

б) \(\log_6(9-x^2)\)

\[ 9-x^2>0 \ \Rightarrow\ x^2<9 \ \Rightarrow\ -3<x<3. \]

в) \(\log_3(x-4)\)

\[ x-4>0 \ \Rightarrow\ x>4. \]

г) \(\log_{0{,}3}(x^2-16)\)

\[ x^2-16>0 \ \Rightarrow\ (x-4)(x+4)>0. \] Произведение положительно при \[ x<-4 \quad \text{или} \quad x>4. \]

Все границы выколоты: в точках \(2\), \(-3\), \(3\), \(4\), \(-4\) аргумент логарифма равен нулю, а \(\log_a 0\) не существует.