Дз

Если нужно найти \(\sin\alpha\), \(\operatorname{tg}\alpha\) и \(\operatorname{ctg}\alpha\), то

\[ \sin\alpha=-\frac{8}{17},\qquad \operatorname{tg}\alpha=-\frac{8}{15},\qquad \operatorname{ctg}\alpha=-\frac{15}{8}. \]

Как это получить

1. Угол \(\alpha\) лежит в промежутке \[ \frac{3\pi}{2}<\alpha<2\pi, \] значит, это IV четверть. В ней косинус положительный, а синус и тангенс отрицательные.

2. Используем основное тригонометрическое тождество: \[ \sin^2\alpha=1-\cos^2\alpha =1-\left(\frac{15}{17}\right)^2 =\frac{289-225}{289} =\frac{64}{289}. \] Поэтому \[ |\sin\alpha|=\frac{8}{17}. \] Так как угол в IV четверти, синус отрицательный: \[ \sin\alpha=-\frac{8}{17}. \]

3. Тангенс — это отношение синуса к косинусу: \[ \operatorname{tg}\alpha= \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}= \frac{-8/17}{15/17}=- \frac{8}{15}. \]

4. Котангенс: \[ \operatorname{ctg}\alpha= \frac{1}{\operatorname{tg}\alpha}= -\frac{15}{8}. \]

Проверка: \[ \cos^2\alpha+\sin^2\alpha= \frac{225}{289}+\frac{64}{289}=1. \] Всё сходится.