активное сопротивление. действующие значение силы тока и напряжения конспект

Краткий ответ

Активное сопротивление \(R\) — это сопротивление, в котором энергия переменного тока необратимо превращается во внутреннюю (нагрев). На нём колебания тока и напряжения совпадают по фазе, поэтому закон Ома работает в обычном виде: \(I=U/R\).

Действующие значения тока и напряжения — это значения такого постоянного тока, который выделяет в том же резисторе столько же теплоты за то же время:

\[I=\frac{I_m}{\sqrt{2}}\approx 0{,}707\,I_m,\qquad U=\frac{U_m}{\sqrt{2}}\approx 0{,}707\,U_m\]

1. Активное сопротивление

Пусть \(u=U_m\cos\omega t\). Тогда по закону Ома для мгновенных значений

\[i=\frac{u}{R}=\frac{U_m}{R}\cos\omega t=I_m\cos\omega t\]

Отсюда три одинаково верные записи закона Ома:

\[I_m=\frac{U_m}{R},\qquad I=\frac{U}{R},\qquad i=\frac{u}{R}\]

Фазового сдвига нет (\(\varphi=0\)): ток и напряжение одновременно достигают максимума и одновременно проходят через нуль. Именно поэтому вольтметр и амперметр в цепи с активным сопротивлением показывают «обычные» значения.

2. Почему действующее значение в \(\sqrt{2}\) раз меньше амплитудного

Мгновенная мощность на резисторе:

\[p=i^2R=I_m^2R\cos^2\omega t\]

Среднее значение за период \(\overline{\cos^2\omega t}=\frac{1}{2}\), значит

\[P=\frac{I_m^2R}{2}=\frac{U_mI_m}{2}\]

Сравним с мощностью постоянного тока \(P=I^2R\). Чтобы формулы совпали, вводим

\[I^2=\frac{I_m^2}{2}\;\Rightarrow\;I=\frac{I_m}{\sqrt2},\qquad U=\frac{U_m}{\sqrt2}\]

Определение для конспекта: действующее значение переменного тока равно силе такого постоянного тока, который в том же резисторе за то же время выделяет столько же теплоты.

Тогда мощность считается привычными формулами:

\[P=UI=I^2R=\frac{U^2}{R}\]

3. Что важно помнить про сеть 220 В

Для бытовой сети указывают действующие значения: \(U=220\) В, \(\nu=50\) Гц.

\[U_m=U\sqrt2\approx 311\ \text{В},\qquad T=\frac{1}{\nu}=0{,}02\ \text{с},\qquad \omega=2\pi\nu\approx 314\ \text{рад/с}\]

Амплитуда напряжения 311 В — это нормально; изоляция рассчитывается именно на неё.

Проверка на примере

Лампа накаливания \(R=484\) Ом включена в сеть 220 В.

\[I=\frac{220}{484}\approx 0{,}45\ \text{А},\qquad P=I^2R\approx 100\ \text{Вт}\]

Проверим через амплитуды: \(U_m\approx 311\) В, \(I_m=\frac{311}{484}\approx 0{,}64\) А,

\[P=\frac{U_mI_m}{2}=\frac{311\cdot 0{,}64}{2}\approx 100\ \text{Вт}\]

Обе формулы дают одно и то же — значит, действующие значения введены согласованно с законом сохранения энергии.

Алгоритм для похожей задачи: 1) есть ли в цепи только \(R\) → фазы совпадают, закон Ома «обычный»; 2) дана амплитуда → подели на \(\sqrt2\), чтобы получить показания приборов; 3) дано действующее → умножь на \(\sqrt2\), чтобы получить амплитуду; 4) мощность считай через действующие значения.