контрольный по математики реший на 5

Ниже — решения всех заданий с двух фото. Сначала краткие ответы, затем — как это получается.

Краткие ответы

1. \((x-2)(x-3)(x+1)<0\)
   \[ x\in(-\infty;-1)\cup(2;3) \]

2. \(x^2+3x-2\le 0\)
   \[ x\in\left[\frac{-3-\sqrt{17}}{2};\frac{-3+\sqrt{17}}{2}\right] \]

3. \(x^2-4x=0\)
   \[ x=0;\quad x=4 \]

4. \((x-3)(x+2)=0\)
   \[ x=3;\quad x=-2 \]

5. \(x^4-25x^2+144=0\)
   \[ x=-4;\ -3;\ 3;\ 4 \]

Как решать

1. Метод интервалов.
Находим нули множителей: \[ x-2=0 \Rightarrow x=2,\qquad x-3=0 \Rightarrow x=3,\qquad x+1=0 \Rightarrow x=-1. \] Отмечаем \(-1,2,3\) на числовой прямой. Знаки произведения:

• на \((-\infty;-1)\): минус;
• на \((-1;2)\): плюс;
• на \((2;3)\): минус;
• на \((3;+\infty)\): плюс.

Нужен знак «меньше нуля», поэтому берём отрицательные промежутки. Знак строгий, значит концы не включаем: \[ (-\infty;-1)\cup(2;3). \]

2. Квадратное неравенство.
Сначала решаем уравнение: \[ x^2+3x-2=0. \] \[ D=3^2-4\cdot1\cdot(-2)=9+8=17, \] \[ x_{1,2}=\frac{-3\pm\sqrt{17}}{2}. \] Парабола \(y=x^2+3x-2\) направлена ветвями вверх, поэтому ниже оси она находится между корнями. Неравенство нестрогое, концы включаем: \[ \left[\frac{-3-\sqrt{17}}{2};\frac{-3+\sqrt{17}}{2}\right]. \]

3. Вынесение общего множителя. \[ x^2-4x=0, \] \[ x(x-4)=0. \] Произведение равно нулю, если хотя бы один множитель равен нулю: \[ x=0 \quad\text{или}\quad x=4. \]

4. Произведение равно нулю. \[ (x-3)(x+2)=0, \] значит \[ x-3=0 \quad\text{или}\quad x+2=0. \] Отсюда: \[ x=3 \quad\text{или}\quad x=-2. \]

5. Биквадратное уравнение.
Сделаем замену: \[ t=x^2,\quad t\ge0. \] Тогда: \[ t^2-25t+144=0. \] \[ D=(-25)^2-4\cdot144=625-576=49,\qquad \sqrt D=7. \] \[ t_{1,2}=\frac{25\pm7}{2}. \] Получаем: \[ t=16 \quad\text{или}\quad t=9. \] Возвращаемся к \(x\): \[ x^2=16 \Rightarrow x=\pm4, \] \[ x^2=9 \Rightarrow x=\pm3. \] Поэтому: \[ x=-4;\ -3;\ 3;\ 4. \]

Что важно не забыть на контрольной: в неравенствах отмечать выколотые или закрашенные точки, а в ответе записывать промежутки; в уравнениях — все найденные корни.