сделать
Сверь числа и знаки с фото.
Параллелограмм 1 Заполните пропуск: В параллелограмме сумма углов, прилежащих к одной стороне равна ___. Ответ: ___
2 Дано: ABCD — параллелограмм \(AB=5\) см; \(AD=2\cdot AB\) Найти: \(P=?\) [Рисунок: параллелограмм ABCD.] Ответ: ___
3 Дано: ABCD — параллелограмм AC — диагональ \(S_{ABC}=60\) см² Найти: \(S_{ABCD}=?\) [Рисунок: параллелограмм ABCD с диагональю AC.] Ответ: ___
4 Дано: \(\angle A=63^\circ\); \(\angle C=59^\circ\) Является ли четырёхугольник ABCD параллелограммом? [Рисунок: четырёхугольник ABCD.] Ответ: ___
5 Найдите ошибку: ABCD — параллелограмм \(AO=7\) см; \(OC=7\) см \(BO=5\) см; \(OD=4\) см [Рисунок: параллелограмм ABCD с диагоналями, пересекающимися в точке O.] Ответ: ___
6 Дано: ABCD — параллелограмм \(BD=24\) см; \(AC=17\) см Найти: \(AO=?\) \(BO=?\) [Рисунок: параллелограмм ABCD с диагоналями AC и BD, пересекающимися в точке O.] Ответ: ___
7 Дано: ABCD — параллелограмм \(\angle A=72^\circ\) Найти: \(\angle C=?\); \(\angle B=?\) [Рисунок: параллелограмм ABCD.] Ответ: ___
8 Найдите пары равных сторон и углов \(AB=\underline{\phantom{000}}\); \(BC=\underline{\phantom{000}}\) \(AO=\underline{\phantom{000}}\); \(BO=\underline{\phantom{000}}\) \(\angle A=\underline{\phantom{000}}\); \(\angle B=\underline{\phantom{000}}\) [Рисунок: параллелограмм ABCD с диагоналями, пересекающимися в точке O.]
9 Углы параллелограмма ABCD относятся как 2:1. Найдите все углы параллелограмма. [Рисунок: параллелограмм ABCD.] Ответ: ___
10 Дано: ABCD — параллелограмм \(\angle ABK=60^\circ\) \(AB=AK\) Найти: \(\angle C=?\) [Рисунок: параллелограмм ABCD; на стороне AD отмечена точка K; проведён отрезок BK.] Ответ: ___
11 Дано: ABCD — параллелограмм \(\angle DCA=46^\circ\); \(\angle CAD=24^\circ\) Найти: \(\angle A=?\) [Рисунок: параллелограмм ABCD с диагональю AC.] Ответ: ___
12 Дано: ABCD — параллелограмм BH — высота \(\angle ABH=30^\circ\); \(AH=3\) см \(HD=8\) см Найти: \(P_{ABCD}=?\) [Рисунок: параллелограмм ABCD; из вершины B на сторону AD опущена высота BH; точка H лежит между A и D.] Ответ: ___
13 Дано: ABCD — параллелограмм AM — биссектриса BK — биссектриса Найти: \(\angle AFB=?\) [Рисунок: параллелограмм ABCD; биссектрисы AM и BK пересекаются в точке F.] Ответ: ___
14 Дано: ABCD — параллелограмм Доказать: \(\triangle BOC=\triangle DOA\) [Рисунок: параллелограмм ABCD с диагоналями, пересекающимися в точке O.] Ответ: ___
15 Верно ли нет утверждение? Диагональ параллелограмма делит его углы пополам. Ответ: ___
Краткие ответы
| № | Ответ |
|---|---|
| 1 | \(180^\circ\) |
| 2 | \(30\) см |
| 3 | \(120\) см² |
| 4 | Нет |
| 5 | Ошибка: \(BO\neq OD\), должно быть \(BO=OD\) |
| 6 | \(AO=8{,}5\) см; \(BO=12\) см |
| 7 | \(\angle C=72^\circ;\ \angle B=108^\circ\) |
| 8 | \(AB=CD,\ BC=AD;\ AO=OC,\ BO=OD;\ \angle A=\angle C,\ \angle B=\angle D\) |
| 9 | \(60^\circ,120^\circ,60^\circ,120^\circ\) |
| 10 | \(60^\circ\) |
| 11 | \(70^\circ\) |
| 12 | \(34\) см |
| 13 | \(90^\circ\) |
| 14 | Треугольники равны по двум сторонам и углу между ними |
| 15 | Неверно |
Как рассуждать
Углы, прилежащие к одной стороне параллелограмма, — внутренние односторонние при параллельных прямых, поэтому их сумма \(180^\circ\).
\(AD=2\cdot AB=2\cdot5=10\) см. Периметр: \[ P=2(AB+AD)=2(5+10)=30\text{ см}. \]
Диагональ делит параллелограмм на два равных треугольника, поэтому \[ S_{ABCD}=2S_{ABC}=2\cdot60=120\text{ см}^2. \]
В параллелограмме противоположные углы равны. Здесь \(\angle A=63^\circ\), \(\angle C=59^\circ\), они не равны, значит, четырёхугольник не является параллелограммом.
Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам: \(BO=OD\). В условии \(5\neq4\), поэтому ошибка в равенстве \(BO=OD\).
Диагонали делятся пополам: \[ AO=\frac{AC}{2}=\frac{17}{2}=8{,}5\text{ см},\qquad BO=\frac{BD}{2}=\frac{24}{2}=12\text{ см}. \]
Противоположные углы равны: \[ \angle C=\angle A=72^\circ. \] Соседние углы дают в сумме \(180^\circ\): \[ \angle B=180^\circ-72^\circ=108^\circ. \]
Свойства параллелограмма: противоположные стороны равны, противоположные углы равны, диагонали точкой пересечения делятся пополам.
Пусть углы равны \(x\) и \(2x\). Это соседние углы: \[ x+2x=180^\circ,\quad 3x=180^\circ,\quad x=60^\circ. \] Значит, углы: \(60^\circ\) и \(120^\circ\), а все четыре — \(60^\circ,120^\circ,60^\circ,120^\circ\).
В треугольнике \(ABK\): \(AB=AK\), \(\angle ABK=60^\circ\). Значит, треугольник равносторонний, поэтому \(\angle BAK=60^\circ\). Так как \(K\) лежит на \(AD\), \(\angle A=60^\circ\), а \(\angle C=\angle A=60^\circ\).
\(AB\parallel CD\), поэтому \(\angle BAC=\angle DCA=46^\circ\). Тогда \[ \angle A=\angle BAC+\angle CAD=46^\circ+24^\circ=70^\circ. \]
Треугольник \(ABH\) прямоугольный, \(\angle ABH=30^\circ\), поэтому \(AH\) — катет против угла \(30^\circ\), он равен половине гипотенузы \(AB\): \[ AB=2AH=6\text{ см}. \] Далее \[ AD=AH+HD=3+8=11\text{ см}, \] \[ P=2(AB+AD)=2(6+11)=34\text{ см}. \]
В треугольнике \(ABF\): \[ \angle FAB=\frac12\angle A,\qquad \angle ABF=\frac12\angle B. \] А \(\angle A+\angle B=180^\circ\), поэтому \[ \angle AFB=180^\circ-\frac{\angle A+\angle B}{2} =180^\circ-90^\circ=90^\circ. \]
В параллелограмме диагонали точкой пересечения делятся пополам: \[ BO=OD,\qquad CO=OA. \] Углы \(\angle BOC\) и \(\angle DOA\) вертикальные, значит, равны. Поэтому \[ \triangle BOC\cong\triangle DOA \] по двум сторонам и углу между ними.
Утверждение неверно. Диагональ делит углы пополам у ромба, а не у любого параллелограмма.
