Т-2 АЛГЕБРА 9-класс. ТЕНДЕМЕЛЕР ЖАНА ТЕНДЕМЕЛЕР СИСТЕМАСЫ. II вариант. 1. Тендемени чыгаргыла.
Реши задание на изображении
Сверь числа и знаки с фото.
Т-2 АЛГЕБРА 9-класс ТЕНДЕМЕЛЕР ЖАНА ТЕНДЕМЕЛЕР СИСТЕМАСЫ II вариант
- Тендемени чыгаргыла.
\[x^4 + 8x^2 - 9 = 0.\]
- Тендемелердин системасын чыгаргыла.
\[\begin{cases} xy - y = 24 \\ x - 3y = -5 \end{cases}\]
- Функциянын нолдорун тапкыла.
\[y = x^3 - x^2 - 9x + 9.\]
- Системанын чыгарылышын тапкыла.
\[\begin{cases} \frac{1}{y} - \frac{1}{x} = \frac{1}{6} \\ x - y = 1 \end{cases}\]
- Маселени чыгаргыла. Тик бурчтуктун периметри 18 см, ал эми аянты 20 см². Тик бурчтуктун жактарын тапкыла.
Краткие ответы:
- \(x=-1;\ 1\).
- \((7;4)\), \((-11;-2)\).
- \(x=-3;\ 1;\ 3\).
- \((3;2)\), \((-2;-3)\).
- \(4\) см и \(5\) см.
1. \(x^4+8x^2-9=0\)
Сделаем замену \(t=x^2\), причём \(t\ge 0\). Тогда:
\[ t^2+8t-9=0 \]
\[ D=8^2-4\cdot1\cdot(-9)=64+36=100 \]
\[ t=\frac{-8\pm10}{2} \]
Получаем \(t=1\) или \(t=-9\). Корень \(t=-9\) не подходит, потому что \(x^2\ge0\). Значит:
\[ x^2=1 \quad\Rightarrow\quad x=\pm1 \]
Ответ: \(x=-1;\ 1\).
2. Система
\[ \begin{cases} xy-y=24\\ x-3y=-5 \end{cases} \]
Из второго уравнения выразим \(x\):
\[ x=3y-5 \]
Подставим в первое:
\[ (3y-5)y-y=24 \]
\[ 3y^2-6y-24=0 \]
Разделим на \(3\):
\[ y^2-2y-8=0 \]
\[ y_1=4,\qquad y_2=-2 \]
Теперь найдём \(x\):
- если \(y=4\), то \(x=3\cdot4-5=7\);
- если \(y=-2\), то \(x=3\cdot(-2)-5=-11\).
Ответ: \((7;4)\), \((-11;-2)\).
3. Нули функции \(y=x^3-x^2-9x+9\)
Нули функции — это значения \(x\), при которых \(y=0\):
\[ x^3-x^2-9x+9=0 \]
Сгруппируем слагаемые:
\[ x^2(x-1)-9(x-1)=0 \]
\[ (x-1)(x^2-9)=0 \]
\[ (x-1)(x-3)(x+3)=0 \]
Значит:
\[ x=1,\qquad x=3,\qquad x=-3 \]
Ответ: \(x=-3;\ 1;\ 3\).
4. Система
\[ \begin{cases} \dfrac{1}{y}-\dfrac{1}{x}=\dfrac{1}{6}\\[6pt] x-y=1 \end{cases} \]
ОДЗ: \(x\ne0,\ y\ne0\).
Преобразуем первое уравнение:
\[ \frac{1}{y}-\frac{1}{x}=\frac{x-y}{xy} \]
Так как \(x-y=1\), получаем:
\[ \frac{1}{xy}=\frac{1}{6} \]
Значит:
\[ xy=6 \]
Из второго уравнения \(x=y+1\). Подставим:
\[ y(y+1)=6 \]
\[ y^2+y-6=0 \]
\[ y_1=2,\qquad y_2=-3 \]
Тогда:
- при \(y=2\): \(x=3\);
- при \(y=-3\): \(x=-2\).
Ответ: \((3;2)\), \((-2;-3)\).
5. Задача про прямоугольник
Пусть стороны прямоугольника равны \(a\) и \(b\).
Периметр:
\[ 2(a+b)=18 \]
Значит:
\[ a+b=9 \]
Площадь:
\[ ab=20 \]
По теореме Виета \(a\) и \(b\) — корни уравнения:
\[ t^2-9t+20=0 \]
\[ t_1=4,\qquad t_2=5 \]
Ответ: стороны прямоугольника равны \(4\) см и \(5\) см.
Проверка:
- \(1^4+8\cdot1^2-9=0\);
- для \((7;4)\): \(7\cdot4-4=24\), \(7-3\cdot4=-5\);
- \(y(1)=y(3)=y(-3)=0\);
- для \((3;2)\): \(\frac12-\frac13=\frac16\);
- \(2(4+5)=18\), \(4\cdot5=20\).
Все ответы подходят.
Обсуждение
10 сообщенийБыстрее
Болчу
Кыскарак
Коротко:
- \(x=\pm1\)
- \((7;4)\), \((-11;-2)\)
- \(x=-3;\ 1;\ 3\)
- \((3;2)\), \((-2;-3)\)
- \(4\) см и \(5\) см
Нужны шаги — скажи, распишу.
Да
1. \(x^4+8x^2-9=0\)
Замена \(t=x^2\ge 0\):
\[ t^2+8t-9=0,\quad D=100,\quad t=1 \text{ или } t=-9 \]
\(t=-9\) не годится, значит \(x^2=1\).
Ответ: \(x=\pm1\).
2. \(\begin{cases}xy-y=24\\ x-3y=-5\end{cases}\)
\(x=3y-5\). Подставляем:
\[ (3y-5)y-y=24 \Rightarrow 3y^2-6y-24=0 \Rightarrow y^2-2y-8=0 \]
\[ y=4 \Rightarrow x=7;\qquad y=-2 \Rightarrow x=-11 \]
Ответ: \((7;4)\), \((-11;-2)\).
3. \(y=x^3-x^2-9x+9\)
Группировка:
\[ x^2(x-1)-9(x-1)=(x-1)(x^2-9)=0 \]
\[ (x-1)(x-3)(x+3)=0 \]
Ответ: \(x=-3;\ 1;\ 3\).
4. \(\begin{cases}\frac1y-\frac1x=\frac16\\ x-y=1\end{cases}\)
\[ \frac1y-\frac1x=\frac{x-y}{xy}=\frac{1}{xy}=\frac16 \Rightarrow xy=6 \]
\(x=y+1\):
\[ y(y+1)=6 \Rightarrow y^2+y-6=0 \Rightarrow y=2 \text{ или } y=-3 \]
Ответ: \((3;2)\), \((-2;-3)\).
5. Прямоугольник, \(P=18\), \(S=20\)
\[ a+b=9,\quad ab=20 \]
Корни \(t^2-9t+20=0\): \(t=4\) и \(t=5\).
Ответ: \(4\) см и \(5\) см.
Дискриминанн
Дискриминант считаем по формуле \(D=b^2-4ac\), корни: \(x=\dfrac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}\).
1. \(t^2+8t-9=0\)
\(a=1,\ b=8,\ c=-9\)
\[ D=8^2-4\cdot1\cdot(-9)=64+36=100,\quad \sqrt{D}=10 \]
\[ t=\frac{-8\pm10}{2}\ \Rightarrow\ t=1,\ t=-9 \]
2. \(3y^2-6y-24=0\)
\(a=3,\ b=-6,\ c=-24\)
\[ D=(-6)^2-4\cdot3\cdot(-24)=36+288=324,\quad \sqrt{D}=18 \]
\[ y=\frac{6\pm18}{2\cdot3}=\frac{6\pm18}{6}\ \Rightarrow\ y=4,\ y=-2 \]
Если сначала разделить уравнение на 3, то \(y^2-2y-8=0\):
\[ D=(-2)^2-4\cdot1\cdot(-8)=4+32=36,\quad y=\frac{2\pm6}{2}\ \Rightarrow\ y=4,\ y=-2 \]
3. \(y^2+y-6=0\)
\(a=1,\ b=1,\ c=-6\)
\[ D=1^2-4\cdot1\cdot(-6)=1+24=25,\quad \sqrt{D}=5 \]
\[ y=\frac{-1\pm5}{2}\ \Rightarrow\ y=2,\ y=-3 \]
4. \(t^2-9t+20=0\)
\(a=1,\ b=-9,\ c=20\)
\[ D=(-9)^2-4\cdot1\cdot20=81-80=1,\quad \sqrt{D}=1 \]
\[ t=\frac{9\pm1}{2}\ \Rightarrow\ t=5,\ t=4 \]
Итог по дискриминантам: \(100\), \(324\) (или \(36\) после сокращения), \(25\), \(1\).
5 чыз
№ 5 через дискриминант
Пусть стороны \(a\) и \(b\). Тогда:
\[ a+b=9,\qquad ab=20 \]
Значит, \(a\) и \(b\) — корни уравнения:
\[ t^2-9t+20=0 \]
\[ D=(-9)^2-4\cdot1\cdot20=81-80=1,\quad \sqrt{D}=1 \]
\[ t=\frac{9\pm1}{2} \]
\[ t_1=5,\qquad t_2=4 \]
Ответ: стороны прямоугольника — \(4\) см и \(5\) см.
