Практические задания 1) Решите уравнения: 1. log√5(1 - 4x) = 4

Question

Реши задание на изображении

Расшифровка фото нейросетью:
Практические задания

1. Решите уравнения:

1. $\log_{\sqrt{5}}(1 - 4x) = 4$

2. $\log_{5}(x^{2} + 5x - 6) - \log_{5}(-20 - 4x) = 0$

3. $\log_{2}(x^{2} + 8x + 12) = 5$

4. $2\log_{2}^{2}x - 5\log_{2}x - 3 = 0$

5. $\log_{2x-9}(x + 5) = 1$

6. $\log_{\sqrt{3}}(x - 3) + \log_{\sqrt{3}}(x - 5) = 2$

7. $\log_{2}(x^{2} + x - 6) - \log_{2}(-5x - 14) = 0$

8. $\log_{\sqrt{32}}(x + 1) + \log_{\sqrt{32}}(7 - 2x) = \frac{2}{5}$

2. Решите неравенства:

1. $\lg(3x - 4) > 1$

2. $Lg(2x - 3) > \lg(x + 1)$

3. $\log_{0.3}(2x - 4) > \log_{0.3}(x + 1)$

4. $\lg x + \lg(x - 1) < \lg 6$

3. Решите систему уравнений:

$$
\begin{cases}
\log_{2}x + \log_{2}y = 6\cr
x + y = 34
\end{cases}
$$

$$
\begin{cases}
x + y = 7\cr
\lg x + \lg y = 1
\end{cases}
$$

Answer

Краткие ответы 1) Уравнения 1. $x=-6$ 2. $x=-7$ 3. $x=-10;\ 2$ 4. $x=8;\ \frac{1}{\sqrt2}$ 5. $x=14$ 6. $x=6$ 7. $x=-4$ 8. $x=\frac{5\pm\sqrt{65}}{4}$, если во втором логарифме $7-2x$. Если там $-7-2x$, то корней нет. 2) Неравенства 1. $x\in\left(\frac{14}{3};+\infty\right)$ 2. $x\in(4;+\infty)$ 3. $x\in(2;5)$ 4. $x\in(1;3)$ 3) Системы 1. $(32;2)$, $(2;32)$ 2. $(5;2)$, $(2;5)$ Как это получается Логарифм существует при $b>0$, $a>0$, $a\ne1$: $$ \log_a b=c \iff b=a^c. $$ Поэтому сначала находим ОДЗ, затем решаем уравнение без логарифма и проверяем корни. 1. $1-4x=(\sqrt5)^4=25$, значит $x=-6$. ОДЗ $x<\frac14$ выполнена. 2. ОДЗ: $x<-6$. Приравниваем аргументы: $$ x^2+5x-6=-20-4x, $$ $$ x^2+9x+14=0. $$ Корни $-7$ и $-2$; в ОДЗ попадает только $-7$. 3. $$ x^2+8x+12=2^5=32, $$ $$ x^2+8x-20=0, $$ корни $-10$ и $2$. Оба подходят. 4. Обозначим $t=\log_2 x$: $$ 2t^2-5t-3=0. $$ Корни $t=3$ и $t=-\frac12$. Тогда $$ x=2^3=8,\qquad x=2^{-1/2}=\frac1{\sqrt2}. $$ 5. Основание $2x-9>0$, $2x-9\ne1$. Из $\log_b a=1$ следует $a=b$: $$ x+5=2x-9, $$ $$ x=14. $$ 6. ОДЗ: $x>5$. $$ \log_{\sqrt3}((x-3)(x-5))=2, $$ $$ (x-3)(x-5)=(\sqrt3)^2=3, $$ $$ x^2-8x+12=0. $$ Корни $2$ и $6$; в ОДЗ только $6$. 7. ОДЗ: $x<-3$. Приравниваем аргументы: $$ x^2+x-6=-5x-14, $$ $$ x^2+6x+8=0. $$ Корни $-4$ и $-2$; в ОДЗ только $-4$. 8. ОДЗ: $x>-1$ и $7-2x>0$, то есть $-11=\lg10$, поэтому $3x-4>10$, значит $x>\frac{14}{3}$. 2. ОДЗ $x>\frac32$. Основание 10, знак сохраняется: $$ 2x-3>x+1, $$ $$ x>4. $$ 3. Основание $0{,}3<1$, поэтому знак неравенства меняется: $$ 2x-42$ получаем $(2;5)$. 4. ОДЗ $x>1$: $$ \lg(x(x-1))<\lg6, $$ $$ x(x-1)<6, $$ $$ x^2-x-6<0, $$ $$ -20,\ y>0$: $$ \log_2(xy)=6 \Rightarrow xy=64. $$ Вместе с $x+y=34$ получаем пары $(32;2)$ и $(2;32)$. 2. ОДЗ $x>0,\ y>0$: $$ \lg(xy)=1 \Rightarrow xy=10. $$ Вместе с $x+y=7$ получаем пары $(5;2)$ и $(2;5)$. Проверка: в уравнениях 2, 6 и 7 корни вне ОДЗ отброшены; в остальных аргументы логарифмов положительны.