39m⁻¹⁰n¹⁶ + (12m⁻⁵n⁸)² / (30m⁻¹¹n¹⁶)

Краткий ответ: \(6{,}1m\), то есть \(\frac{61}{10}m\).

Читаю выражение так: \[ \frac{39m^{-10}n^{16}+(12m^{-5}n^8)^2}{30m^{-11}n^{16}}. \] Вторая переменная в итоге сокращается, поэтому ответ не зависит от того, записана там \(n\) или \(a\).

1. Раскрываем квадрат: \[ (12m^{-5}n^8)^2=12^2\cdot (m^{-5})^2\cdot (n^8)^2 =144m^{-10}n^{16}. \]

2. Складываем подобные в числителе: \[ 39m^{-10}n^{16}+144m^{-10}n^{16} =183m^{-10}n^{16}. \]

3. Делим степени с одинаковыми основаниями. При делении показатели вычитаются: \[ \frac{183m^{-10}n^{16}}{30m^{-11}n^{16}} = \frac{183}{30}\cdot m^{-10-(-11)}\cdot n^{16-16} = \frac{61}{10}m. \]

Проверка: при \(m=1,\ n=1\) исходное выражение даёт \[ \frac{39+144}{30}=\frac{183}{30}=6{,}1, \] и упрощённое \(6{,}1\cdot 1=6{,}1\). Всё сходится.

Главный принцип: \((x^a)^b=x^{ab}\), а \(\frac{x^a}{x^b}=x^{a-b}\); при одинаковых показателях степени сокращаются.