3 примера на тему конус цилиндр шар с чертижом

Question

Задача · 11 класс Задача №3793237

А

Аноним

21 час назад · публичный вопрос

А

Аноним 21 час назад

3 примера на тему конус цилиндр шар с чертижом

Ответ нейросети

21 час назад

Краткий ответ

Ниже — три готовых примера (задачи с числами) по теме «цилиндр, конус, шар». К каждому — описание чертежа и полное решение.

Пример 1. Цилиндр

Условие. Радиус основания \(R=3\), высота \(h=5\). Найти площадь боковой поверхности, полную поверхность, объём и диагональ осевого сечения.

Чертёж. Осевое сечение цилиндра — прямоугольник \(ABCD\):

        A────────────D
        │            │
        │            │  h = 5
        │            │
        B────────────C
        └── 2R = 6 ──┘

Снизу подписываем \(2R=6\), сбоку \(h=5\); \(AD=BC=5\), \(AB=DC=6\).

Решение. \[ S_{\text{бок}}=2\pi Rh=2\pi\cdot 3\cdot 5=30\pi \] \[ S_{\text{полн}}=2\pi R(R+h)=2\pi\cdot 3\cdot 8=48\pi \] \[ V=\pi R^2h=\pi\cdot 9\cdot 5=45\pi \] Диагональ осевого сечения — диагональ прямоугольника \(6\times 5\): \[ d=\sqrt{6^2+5^2}=\sqrt{61}\approx 7{,}81 \]

Проверка. \(S_{\text{полн}}=S_{\text{бок}}+2S_{\text{осн}}=30\pi+2\cdot 9\pi=48\pi\) — сходится.

Пример 2. Конус

Условие. Радиус основания \(R=6\), высота \(h=8\). Найти образующую, площадь боковой поверхности, полную поверхность и объём.

Чертёж. Осевое сечение — равнобедренный треугольник \(SAB\):

              S
             ╱│╲
            ╱ │ ╲   l
           ╱  │h ╲
          ╱   │8  ╲
         A────┴────B
         └── 2R=12 ──┘

Отмечаем \(O\) — центр основания, \(SO=h\), \(OA=OB=R\), \(SA=SB=l\).

Решение. Образующая: \[ l=\sqrt{R^2+h^2}=\sqrt{36+64}=10 \] \[ S_{\text{бок}}=\pi Rl=\pi\cdot 6\cdot 10=60\pi \] \[ S_{\text{полн}}=\pi R(R+l)=\pi\cdot 6\cdot 16=96\pi \] \[ V=\tfrac13\pi R^2h=\tfrac13\pi\cdot 36\cdot 8=96\pi \]

Проверка. \(l=10>h=8\) и \(l>R=6\) — гипотенуза больше катетов, всё верно.

Пример 3. Шар

Условие. Радиус шара \(R=5\). Найти объём и площадь поверхности шара. Затем найти радиус сечения, если плоскость проходит на расстоянии \(d=3\) от центра, и площадь этого сечения.

Чертёж. Окружность (большой круг) с центром \(O\), хорда-сечение:

          ╭─────────╮
        ╱      │O     ╲
       │       │d=3    │
       │───────┼───────│   ← секущая плоскость
        ╲      │      ╱
          ╰─────────╯

Из \(O\) опускаем перпендикуляр \(OK=3\) на плоскость сечения, \(OK\perp\) плоскости; \(r=KA\) — радиус сечения.

Решение. \[ V=\tfrac43\pi R^3=\tfrac43\pi\cdot 125=\tfrac{500\pi}{3} \] \[ S=4\pi R^2=4\pi\cdot 25=100\pi \] Сечение — круг, треугольник \(OKA\) прямоугольный: \[ r=\sqrt{R^2-d^2}=\sqrt{25-9}=4,\qquad S_{\text{сеч}}=\pi r^2=16\pi \]

Проверка. При \(d=0\) получаем \(r=R=5\) — большой круг; при \(d\to R\) радиус сечения стремится к нулю. Наша формула это отражает.

Что здесь главное

Во всех трёх задачах работает один приём: трёхмерное тело сводим к плоскому чертежу — осевому сечению (цилиндр, конус) или прямоугольному треугольнику «центр–точка сечения» (шар). Дальше нужны только:

цилиндр: \(S_{\text{бок}}=2\pi Rh\), \(V=\pi R^2h\);
конус: \(l=\sqrt{R^2+h^2}\), \(S_{\text{бок}}=\pi Rl\), \(V=\tfrac13\pi R^2h\);
шар: \(S=4\pi R^2\), \(V=\tfrac43\pi R^3\), сечение \(r=\sqrt{R^2-d^2}\).

Для чертежа всегда подписывай \(R\), \(h\), \(l\) (или \(d\)) — по ним сразу видно, какую формулу применять.