2 вариант,2 задание сделай

Question

Расшифровка фото нейросетью:
Вариант 2
2. Площадь криволинейной трапеции: Найдите площадь криволинейной трапеции, ограниченной линиями: $y=x^3$, $y=0$, $x=1$, $x=2$.
(Постройте эскиз фигуры на координатной плоскости).

Answer

Краткий ответ:
$$
S=\frac{15}{4}=3{,}75\ \text{кв. ед.}
$$

Как решать

1. Фигура ограничена сверху графиком $y=x^3$, снизу — осью $Ox$ $(y=0)$, слева — прямой $x=1$, справа — прямой $x=2$.

2. Площадь криволинейной трапеции равна определённому интегралу:
$$
S=\int_a^b f(x)\,dx.
$$
На отрезке $[1;2]$ функция $y=x^3$ положительна, поэтому:
$$
S=\int_1^2 x^3\,dx.
$$

3. Находим первообразную:
$$
F(x)=\frac{x^4}{4},
$$
потому что
$$
F'(x)=\left(\frac{x^4}{4}\right)'=x^3.
$$

4. Применяем формулу Ньютона–Лейбница:
$$
S=F(2)-F(1)=\frac{2^4}{4}-\frac{1^4}{4}
=\frac{16}{4}-\frac{1}{4}
=\frac{15}{4}=3{,}75.
$$

Эскиз: кривая $y=x^3$ проходит через точки $(1;1)$ и $(2;8)$; заштрихована область под этой кривой до оси $Ox$ между $x=1$ и $x=2$.

Проверка: площадь положительна и меньше площади прямоугольника $1\cdot 8=8$, но больше $1\cdot 1=1$. Значение $3{,}75$ этому соответствует.