Решите систему неравенств (159—164):
Реши задание на изображении
Сверь числа и знаки с фото.
Решите систему неравенств (159—164): 162. а) { \((x-5)(x+1)>0\), \((x-10)^2>0\) }; б) { \((x+2)(x+3)<0\), \((x+2)^2>0\) }; в) { \(x^2-4x+3>0\), \(x^2(x-7)^2>0\) }; г) { \((x^2-1)(x+3)>0\), \((x+5)^2(x-1)^2>0\) }. 163. а) { \((x-2)(x-3)>0\), \(\frac{x+2}{(x-4)(x+4)}>0\) }; б) { \((x+2)(x+10)<0\), \(\frac{x-3}{(x+4)(x+7)}<0\) }; в) { \(\frac{x-5}{x+3}>0\), \(\frac{x+7}{x-3}<0\) }; г) { \(\frac{x+3}{x-4}<0\), \(\frac{x+8}{x-7}>0\) }.
На фото выделены номера 162 и 163 — решаю оба полностью. Неравенства строгие, поэтому концы промежутков не включаются; нули знаменателя всегда выколоты.
Краткие ответы
162.
а) \((-\infty;-1)\cup(5;10)\cup(10;+\infty)\)
б) \((-3;-2)\)
в) \((-\infty;0)\cup(0;1)\cup(3;7)\cup(7;+\infty)\)
г) \((-3;-1)\cup(1;+\infty)\)
163.
а) \((-4;-2)\cup(4;+\infty)\)
б) \((-10;-7)\cup(-4;-2)\)
в) \((-7;-3)\)
г) \(\varnothing\)
Как рассуждать
Каждую систему решаем по частям:
- решаем первое неравенство;
- решаем второе;
- берём пересечение решений.
Для произведений и дробей удобен метод интервалов: отмечаем нули числителя и знаменателя, расставляем знаки и выбираем нужные промежутки.
Подробно — 162 а
\[ (x-5)(x+1)>0 \] Корни \(-1\) и \(5\), парабола ветвями вверх, значит: \[ x\in(-\infty;-1)\cup(5;+\infty). \]
Второе неравенство: \[ (x-10)^2>0 \] Квадрат положителен всегда, кроме \(x=10\). Поэтому \(x\ne 10\).
Пересекаем: \[ (-\infty;-1)\cup(5;10)\cup(10;+\infty). \]
Число \(10\) выколото: при \(x=10\) второе неравенство обращается в \(0>0\), а это неверно.
Остальные пункты
- 162 б. Первое: \((-3;-2)\); второе: \(x\ne -2\). Итог: \((-3;-2)\).
- 162 в. Первое: \((-\infty;1)\cup(3;+\infty)\); второе: \(x\ne 0,\ 7\). Итог: \((-\infty;0)\cup(0;1)\cup(3;7)\cup(7;+\infty)\).
- 162 г. Первое: \((-3;-1)\cup(1;+\infty)\); второе: \(x\ne -5,\ 1\). Итог: \((-3;-1)\cup(1;+\infty)\).
В 163 сначала находим нули числителя и знаменателя, затем выбираем знак дроби:
- 163 а. Первое: \((-\infty;2)\cup(3;+\infty)\); второе: \((-4;-2)\cup(4;+\infty)\). Итог: \((-4;-2)\cup(4;+\infty)\).
- 163 б. Первое: \((-10;-2)\); второе: \((-\infty;-7)\cup(-4;3)\). Итог: \((-10;-7)\cup(-4;-2)\).
- 163 в. Первое: \((-\infty;-3)\cup(5;+\infty)\); второе: \((-7;3)\). Итог: \((-7;-3)\).
- 163 г. Первое: \((-3;4)\); второе: \((-\infty;-8)\cup(7;+\infty)\). Эти промежутки не пересекаются, поэтому решений нет: \(\varnothing\).
Проверка для 163 г: первая система требует \(-3<x<4\), а вторая — \(x<-8\) или \(x>7\). Общих \(x\) нет.
