Дароо дептерге жазгыдай кылып Чыгар

Дептерге:

\[ \operatorname{tg}2x=\sqrt{3} \]

\[ 2x=\frac{\pi}{3}+\pi k,\quad k\in\mathbb{Z} \]

\[ x=\frac{\pi}{6}+\frac{\pi}{2}k,\quad k\in\mathbb{Z} \]

Жообу: \(x=\dfrac{\pi}{6}+\dfrac{\pi}{2}k,\ k\in\mathbb{Z}\).

Жообу:

\[ x=\frac{\pi}{6}+\frac{\pi}{2}k,\quad k\in\mathbb{Z} \]

Бул теңдеменин бардык чечимдери.

Дептерге:

\[ \operatorname{tg}\left(3x+\frac{\pi}{6}\right)=\frac{\sqrt{3}}{3} \]

\[ 3x+\frac{\pi}{6}=\frac{\pi}{6}+\pi k,\quad k\in\mathbb{Z} \]

\[ 3x=\pi k \]

\[ x=\frac{\pi k}{3},\quad k\in\mathbb{Z} \]

Жообу: \(x=\dfrac{\pi k}{3},\ k\in\mathbb{Z}\).

Негизги жер: \(\operatorname{arctg}\dfrac{\sqrt{3}}{3}=\dfrac{\pi}{6}\), анткени \(\operatorname{tg}\dfrac{\pi}{6}=\dfrac{\sqrt{3}}{3}\). Мындан \(\dfrac{\pi}{6}\) эки тарапта тең кыскарат да, жөнөкөй \(3x=\pi k\) калат.

Дептерге:

\[ \operatorname{tg}\left(3x+\frac{\pi}{6}\right)=\frac{\sqrt{3}}{3} \]

\[ 3x+\frac{\pi}{6}=\operatorname{arctg}\frac{\sqrt{3}}{3}+\pi k,\quad k\in\mathbb{Z} \]

\[ 3x+\frac{\pi}{6}=\frac{\pi}{6}+\pi k \]

\[ 3x=\pi k \]

\[ x=\frac{\pi k}{3} \]

Жообу: \(x=\dfrac{\pi k}{3},\quad k\in\mathbb{Z}\).

Эгер башка теңдемени дептерге жазуу керек болсо, аны жазып коюңуз — ошого жараша жазам.

Жообу:

\[ x=\frac{\pi k}{3},\quad k\in\mathbb{Z} \]

Бул \(\operatorname{tg}\left(3x+\dfrac{\pi}{6}\right)=\dfrac{\sqrt{3}}{3}\) теңдемесинин бардык чечимдери.

Дептерге:

\[ \operatorname{ctg}x=-\sqrt{3} \]

\[ x=\operatorname{arcctg}(-\sqrt{3})+\pi k,\quad k\in\mathbb{Z} \]

\[ x=\pi-\frac{\pi}{6}+\pi k \]

\[ x=\frac{5\pi}{6}+\pi k,\quad k\in\mathbb{Z} \]

Жообу: \(x=\dfrac{5\pi}{6}+\pi k,\quad k\in\mathbb{Z}\).

Кыскача негиз: \(\operatorname{arcctg}(-a)=\pi-\operatorname{arcctg}a\), ал эми \(\operatorname{arcctg}\sqrt{3}=\dfrac{\pi}{6}\), анткени \(\operatorname{ctg}\dfrac{\pi}{6}=\sqrt{3}\). Ошондуктан \(\operatorname{arcctg}(-\sqrt{3})=\pi-\dfrac{\pi}{6}=\dfrac{5\pi}{6}\).

Толук эсеп:

\[ \operatorname{ctg}x=-\sqrt{3} \]

Жалпы формула боюнча:

\[ x=\operatorname{arcctg}(-\sqrt{3})+\pi k,\quad k\in\mathbb{Z} \]

Терс аргумент үчүн \(\operatorname{arcctg}(-a)=\pi-\operatorname{arcctg}a\) болгондуктан:

\[ \operatorname{arcctg}(-\sqrt{3})=\pi-\operatorname{arcctg}\sqrt{3}=\pi-\frac{\pi}{6}=\frac{5\pi}{6} \]

Демек:

\[ x=\frac{5\pi}{6}+\pi k,\quad k\in\mathbb{Z} \]

Текшерүү: \(k=0\) болгондо \(x=\dfrac{5\pi}{6}\):

\[ \operatorname{ctg}\frac{5\pi}{6}=\frac{\cos\frac{5\pi}{6}}{\sin\frac{5\pi}{6}}=\frac{-\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{1}{2}}=-\sqrt{3} \]

Туура. Мында \(\sin x\neq 0\) шарты да бузулбайт.

Жообу: \(x=\dfrac{5\pi}{6}+\pi k,\quad k\in\mathbb{Z}\).

(Ошол эле жоопту \(\operatorname{tg}x=-\dfrac{1}{\sqrt{3}}\) аркылуу да алууга болот: \(x=-\dfrac{\pi}{6}+\pi k\) — бул ошол эле чечимдердин тобу.)

Жообу:

\[ x=\frac{5\pi}{6}+\pi k,\quad k\in\mathbb{Z} \]

Бул \(\operatorname{ctg}x=-\sqrt{3}\) теңдемесинин бардык чечимдери (ошол эле топту \(x=-\dfrac{\pi}{6}+\pi k\) түрүндө да жазууга болот).

Дептерге:

\[ \operatorname{ctg}(2x + 45^\circ) = -1 \]

\[ 2x + \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4} + \pi k,\quad k\in\mathbb{Z} \]

\[ 2x = \frac{3\pi}{4} - \frac{\pi}{4} + \pi k \]

\[ 2x = \frac{\pi}{2} + \pi k \]

\[ x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2},\quad k\in\mathbb{Z} \]

Жообу: \(x = \dfrac{\pi}{4} + \dfrac{\pi k}{2},\ k\in\mathbb{Z}\).

(Градус менен жазсак: \(x = 45^\circ + 90^\circ k\).)

Кыскача негиз: \(\operatorname{arcctg}(-1) = \dfrac{3\pi}{4}\) (б.а. \(135^\circ\)), анткени \(\operatorname{ctg}135^\circ = -1\). \(45^\circ\)-ту радианга айландырсак \(\dfrac{\pi}{4}\) болот. Андан ары жөнөкөй алгебралык амалдар аткарылат.

Жообу:

\[ x=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi k}{2},\quad k\in\mathbb{Z} \]

Же градус менен:

\[ x=45^\circ+90^\circ k,\quad k\in\mathbb{Z} \]

Бул \(\operatorname{ctg}(2x+45^\circ)=-1\) теңдемесинин бардык чечимдери.