Докажите, что: F(x) = x⁶ − 2cos x является первообразной для f(x) = 6x⁵ + 2sin x.

Краткие ответы

Верхнее задание:
\[ F'(x)=6x^5-2(-\sin x)=6x^5+2\sin x=f(x), \] поэтому \(F(x)\) действительно является первообразной для \(f(x)\).

A2 — все первообразные:

1. \(\displaystyle F(x)=\frac{x^5}{5}-5x+C\)
2. \(\displaystyle F(x)=4\ln|x|+x^3+C\)
3. \(\displaystyle F(x)=\sin x-x^4+C\)
4. \(\displaystyle F(x)=-3\operatorname{ctg}x-2e^x+C\)
5. \(\displaystyle F(x)=\frac{1}{16}\sin4x+C\)
6. \(\displaystyle F(x)=\frac{1}{5}(5x+2)^3+C\)

B1 — интегралы:

1. \[ \int_1^2 4x^3\,dx=15 \]
2. \[ \int_0^3(2+4x)\,dx=24 \]

B2 — найти \(C\):

1. \(C=4\), то есть \(\displaystyle F(x)=2x^3-x^2+4\).
2. \(\displaystyle C=2-\frac{\sqrt3}{2}=\frac{4-\sqrt3}{2}\), то есть
   \[ F(x)=\sqrt3\sin x+2-\frac{\sqrt3}{2}. \]

Как это устроено

Первообразная \(F\) — это функция, производная которой равна данной функции: \[ F'(x)=f(x). \] Все первообразные отличаются только постоянной \(C\), потому что \((F+C)'=F'\).

Нужные формулы: \[ \int x^n\,dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C,\quad \int\frac{dx}{x}=\ln|x|+C, \] \[ \int\cos x\,dx=\sin x+C,\quad \int\frac{dx}{\sin^2x}=-\operatorname{ctg}x+C,\quad \int e^x\,dx=e^x+C. \]

Например, в №5: \[ \int \frac14\cos4x\,dx =\frac14\cdot\frac14\sin4x+C =\frac1{16}\sin4x+C. \] В №6 удобно сделать замену \(u=5x+2\): \[ \int 3(5x+2)^2\,dx =3\cdot\frac{(5x+2)^3}{3\cdot5}+C =\frac15(5x+2)^3+C. \]

В B1 применяем формулу Ньютона — Лейбница: \[ \int_1^2 4x^3\,dx=\left[x^4\right]_1^2=16-1=15. \] \[ \int_0^3(2+4x)\,dx =\left[2x+2x^2\right]_0^3=6+18=24. \]

В B2 сначала находим общий вид первообразной, затем подставляем точку.

1. Для \(y=6x^2-2x\): \[ F(x)=2x^3-x^2+C. \] Так как \(F(1)=5\): \[ 5=2-1+C,\quad C=4. \]

2. Для \(y=\sqrt3\cos x\): \[ F(x)=\sqrt3\sin x+C. \] Так как \(F\left(\frac\pi6\right)=2\) и \(\sin\frac\pi6=\frac12\): \[ 2=\sqrt3\cdot\frac12+C, \] \[ C=2-\frac{\sqrt3}{2}. \]

Проверка: если продифференцировать полученные в A2 функции, получаются исходные \(f(x)\); точки из B2 действительно лежат на соответствующих графиках.