пример и график функции ограниченный сверху
Короткий ответ. Пример функции, ограниченной сверху: \[ f(x)=3-x^2,\qquad D(f)=\mathbb R. \] Она ограничена сверху числом \(3\), потому что \[ f(x)=3-x^2\le 3 \] для любого \(x\). График — парабола ветвями вниз с вершиной \((0;3)\); весь график лежит не выше прямой \(y=3\) и касается её в вершине.
Что значит «ограничена сверху»
Функция \(f\) ограничена сверху на своей области определения, если существует такое число \(M\), что для всех \(x\) \[ f(x)\le M. \] На графике это значит: всю кривую можно накрыть горизонтальной прямой \(y=M\) — выше неё график не поднимается.
Почему \(f(x)=3-x^2\) ограничена сверху
Так как квадрат числа неотрицателен, \[ x^2\ge 0. \] Вычитаем обе части из \(3\): \[ 3-x^2\le 3. \] Значит, \(M=3\) — верхняя граница. Причём \[ f(0)=3-0^2=3, \] поэтому число \(3\) действительно достигается. Это наибольшее значение функции и её наименьшая верхняя граница.
Как построить график
- Вершина параболы: \(x=0\), \(y=3\), то есть точка \((0;3)\).
- Ветви направлены вниз, потому что коэффициент при \(x^2\) равен \(-1<0\).
- Возьмём несколько точек:
| \(x\) | \(-2\) | \(-1\) | \(0\) | \(1\) | \(2\) |
|---|---|---|---|---|---|
| \(y=3-x^2\) | \(-1\) | \(2\) | \(3\) | \(2\) | \(-1\) |
- Соединяем точки плавной кривой. Получается парабола с вершиной вверху.
- Проводим горизонтальную прямую \(y=3\): график находится под ней или на ней.
Проверка
Возьмём, например, \(x=10\): \[ f(10)=3-100=-97\le 3. \] Возьмём \(x=-10\): \[ f(-10)=3-100=-97\le 3. \] Ни при каком \(x\) значение не станет больше \(3\), поэтому функция ограничена сверху.
Важно: верхняя граница не обязана достигаться. Например, \(g(x)=-\frac{1}{x}\) при \(x>0\) всегда меньше \(0\), поэтому \(0\) — её верхняя граница, хотя сама точка \(0\) на графике не появляется.
Обсуждение
2 сообщенияНарисуй график
Вот схематичный график функции \(f(x)=3-x^2\):
y
↑
4 │
3 │────────────●──────────── y = 3 — верхняя граница
2 │ · │ ·
1 │ · │ ·
0 ┼─────·──────┼──────·─────→ x
-1 │ · │ ·
-2 │ · │ ·
-3 │ · │ ·
-4 │ · │ ·
-5 │ · │ ·
-6 · │ ·
Что видно на графике:
- вершина параболы — точка \((0;3)\);
- ветви направлены вниз;
- вся парабола лежит не выше прямой \(y=3\);
- значения: \(f(\pm1)=2\), \(f(\pm2)=-1\), \(f(\pm3)=-6\);
- равенство \(f(x)=3\) достигается только при \(x=0\), поэтому \(3\) — наибольшее значение функции.
Значит, функция \(f(x)=3-x^2\) ограничена сверху числом \(3\).
