реши
Я готов решить, но самого задания нет: ни условия, ни фото, ни номера упражнения. Пришли текст задачи или картинку — и я разберу её по шагам в режиме «Понять».
Обсуждение
2 сообщенияреши
A1 (1 б)
\[ F'(x) = (x^5 + 3\sin x)' = 5x^4 + 3\cos x = f(x). \] Так как \(F'(x) = f(x)\) на всей области определения, \(F(x)\) — первообразная для \(f(x)\). Ч. т. д.
A2 (6 б) — все первообразные
Используем таблицу: \(\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C\), \(\int \frac{dx}{x} = \ln|x| + C\), \(\int \sin x\,dx = -\cos x + C\), \(\int \frac{dx}{\cos^2 x} = \operatorname{tg} x + C\), \(\int e^x dx = e^x + C\), а для \(f(kx+b)\) делим первообразную на \(k\).
\(f(x) = x^3 - 2\)
\[ F(x) = \frac{x^4}{4} - 2x + C \]\(f(x) = \frac{2}{x} + 4x^3\)
\[ F(x) = 2\ln|x| + x^4 + C \]\(f(x) = \sin x + 9x^2\)
\[ F(x) = -\cos x + 3x^3 + C \]\(f(x) = \frac{5}{\cos^2 x} - 3e^x\)
\[ F(x) = 5\operatorname{tg}x - 3e^x + C \]\(f(x) = \frac{1}{2}\sin 2x\)
Здесь \(k = 2\), поэтому делим на 2:
\[ F(x) = \frac{1}{2}\cdot\left(-\frac{\cos 2x}{2}\right) + C = -\frac{1}{4}\cos 2x + C \]\(f(x) = 4(3x - 1)^3\)
Здесь \(k = 3\):
\[ F(x) = 4\cdot\frac{(3x-1)^4}{4\cdot 3} + C = \frac{(3x-1)^4}{3} + C \]
B1 (3 б) — определённые интегралы
Формула Ньютона–Лейбница: \(\int_a^b f(x)dx = F(b) - F(a)\).
\[ \int_0^2 3x^2 dx = \left[x^3\right]_0^2 = 8 - 0 = 8 \]
\[ \int_1^3 (4 - 2x)dx = \left[4x - x^2\right]_1^3 = (12 - 9) - (4 - 1) = 3 - 3 = 0 \]
B2 (3 б) — находим \(C\) по точке \(M\)
\(y = 6x - 9x^2\), \(M(-1; 2)\)
Общий вид первообразной: \[ F(x) = 3x^2 - 3x^3 + C \] Подставляем \(x = -1\), \(F = 2\): \[ 3\cdot 1 - 3\cdot(-1) + C = 2 \;\Rightarrow\; 3 + 3 + C = 2 \;\Rightarrow\; C = -4 \] Ответ: \(C = -4\), \(F(x) = 3x^2 - 3x^3 - 4\).\(y = 2\sqrt{2}\sin x\), \(M\left(\frac{\pi}{4}; 6\right)\)
\[ F(x) = -2\sqrt{2}\cos x + C \] При \(x = \frac{\pi}{4}\): \(\cos\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}\), значит \[ -2\sqrt{2}\cdot\frac{\sqrt{2}}{2} + C = -2 + C = 6 \;\Rightarrow\; C = 8 \] Ответ: \(C = 8\), \(F(x) = -2\sqrt{2}\cos x + 8\).
Проверка ключевых мест: производная от \(-\frac{1}{4}\cos 2x\) даёт \(\frac{1}{2}\sin 2x\); производная от \(\frac{(3x-1)^4}{3}\) даёт \(4(3x-1)^3\) — оба ответа A2 верны. В B2 подстановка точек \(M\) в найденные \(F(x)\) тоже даёт нужные значения (2 и 6).
