10 класс

На фото два уравнения — разберу оба.

Кратко: в верхней записи есть ошибка: \((x-1)^2=4^2\) даёт \(x=5\) и \(x=-3\), а не \(x=17\). Для пункта a) \(x^3+24=0\) в действительных числах \(x=-\sqrt[3]{24}=-2\sqrt[3]{3}\).

1. Верхнее уравнение

Нельзя извлекать квадратный корень только из левой части. Корень извлекается из обеих частей:

\[ \sqrt{(x-1)^2}=\sqrt{4^2} \]

\[ |x-1|=4 \]

Значит, возможны два случая:

\[ x-1=4 \quad \text{или} \quad x-1=-4 \]

\[ x=5 \quad \text{или} \quad x=-3 \]

То же самое через разность квадратов:

\[ (x-1)^2-4^2=0 \]

\[ (x-1-4)(x-1+4)=0 \]

\[ (x-5)(x+3)=0 \]

Проверка: при \(x=17\) слева получается \((17-1)^2=256\), а справа \(4^2=16\). Равенства нет, поэтому \(x=17\) — не корень.

Ошибка в записи \(x-1=16\) в том, что \(16\) — это уже \(4^2\), а после извлечения корня справа должно остаться \(4\), причём с двумя знаками.

2. Пункт a)

\[ x^3+24=0 \]

\[ x^3=-24 \]

Кубический корень из отрицательного числа отрицателен:

\[ x=\sqrt[3]{-24}=-\sqrt[3]{24} \]

Так как \(24=8\cdot 3\), то:

\[ x=-\sqrt[3]{8\cdot 3}=-2\sqrt[3]{3} \]

Проверка:

\[ (-2\sqrt[3]{3})^3=-8\cdot 3=-24 \]

\[ -24+24=0 \]

В действительных числах корень один, потому что функция \(y=x^3\) строго возрастает.

Ответ: верхнее уравнение: \(x=5\), \(x=-3\); пункт a): \(x=-2\sqrt[3]{3}\).