Вариант 2. № 1. Не выполняя построения, найдите координаты точек пересечения графика функции y = -2x² и прямой: а) y = -200; б) y = -3200

Краткий ответ

№ 1. Точки пересечения параболы \(y=-2x^2\) с прямыми:

• а) \(y=-200\): \((-10;-200)\) и \((10;-200)\);
• б) \(y=-3200\): \((-40;-3200)\) и \((40;-3200)\);
• в) \(y=40x\): \((0;0)\) и \((-20;-800)\);
• г) \(y=-1400x\): \((0;0)\) и \((700;-980\,000)\).

№ 2. а) \(A(-2;-160)\) — не принадлежит; б) \(B(2;160)\) — принадлежит; в) \(C(0{,}1;0{,}4)\) — принадлежит.

Как это устроено (№ 1)

Точка пересечения двух графиков — это точка, координаты которой подходят обоим уравнениям сразу. Значит, надо приравнять выражения для \(y\) и решить уравнение относительно \(x\), а потом найти \(y\) подстановкой.

а) \[ -2x^2=-200 \;\Rightarrow\; x^2=100 \;\Rightarrow\; x=\pm 10 \] Ордината задана прямой: \(y=-200\). Получаем две точки.

б) \[ -2x^2=-3200 \;\Rightarrow\; x^2=1600 \;\Rightarrow\; x=\pm 40,\quad y=-3200 \]

в) Здесь прямая уже не горизонтальная, поэтому \(y\) считаем после нахождения \(x\): \[ -2x^2=40x \;\Rightarrow\; -2x^2-40x=0 \;\Rightarrow\; -2x(x+20)=0 \] \[ x=0 \;\text{или}\; x=-20 \] Подставляем в \(y=40x\): при \(x=0\) будет \(y=0\); при \(x=-20\) будет \(y=-800\).

г) \[ -2x^2=-1400x \;\Rightarrow\; -2x^2+1400x=0 \;\Rightarrow\; -2x(x-700)=0 \] \[ x=0 \;\text{или}\; x=700 \] Тогда \(y=-1400\cdot 700=-980\,000\) (при \(x=0\) снова \(y=0\)).

Важный приём. В пунктах в) и г) нельзя «сокращать на \(x\)»: делить можно только на число, не равное нулю, а \(x\) может быть нулём. Именно поэтому выносим \(x\) за скобку — так корень \(x=0\) не теряется. Кстати, он появляется всегда, когда прямая проходит через начало координат: \((0;0)\) лежит и на параболе \(y=-2x^2\), и на любой прямой \(y=kx\).

Как это устроено (№ 2)

Принадлежность проверяется подстановкой: берём \(x\) точки, считаем \(y=40x^2\) и сравниваем с ординатой точки.

• а) \(40\cdot(-2)^2=40\cdot 4=160\), а у точки \(y=-160\). \(160\neq -160\) — не принадлежит.
• б) \(40\cdot 2^2=160\) — совпало, принадлежит.
• в) \(40\cdot(0{,}1)^2=40\cdot 0{,}01=0{,}4\) — совпало, принадлежит.

Проверка результата из № 1: подставим найденные \(x\) обратно. \(-2\cdot(-10)^2=-200\) ✔; \(-2\cdot(-20)^2=-800=40\cdot(-20)\) ✔; \(-2\cdot 700^2=-980\,000=-1400\cdot 700\) ✔. Всё сходится.