Вопросы 1 Дайте определение среднего арифметического числового набора.

На фото нет отдельного номера упражнения, но есть рубрика «Вопросы». Отвечаю на пункты 1–4.

Ответы

1. Среднее арифметическое набора чисел \(x_1, x_2, \ldots, x_n\) — это сумма всех чисел, делённая на их количество: \[ \overline{x}=\frac{x_1+x_2+\cdots+x_n}{n}. \]

2. Среднее равно \(5{,}6\). Если все \(n\) чисел равны \(5{,}6\), то \[ \overline{x}=\frac{5{,}6n}{n}=5{,}6. \] Количество чисел при этом не важно.

3. С точки зрения физики среднее арифметическое — это точка равновесия числовой оси, или центр масс: если в точках, соответствующих числам набора, подвесить одинаковые гири, стержень уравновесится именно в точке среднего.

4. Нет, быть строго больше наибольшего или строго меньше наименьшего оно не может. Всегда \[ x_{\min}\le \overline{x}\le x_{\max}. \]

Почему так

Для четвёртого вопроса пусть \(m\) — наименьшее число набора, а \(M\) — наибольшее. Тогда каждое число \(x_i\) удовлетворяет неравенству \[ m\le x_i\le M. \] Складываем все \(n\) таких неравенств: \[ nm\le x_1+\cdots+x_n\le nM. \] Делим на положительное \(n\): \[ m\le \frac{x_1+\cdots+x_n}{n}\le M. \] Значит, среднее всегда лежит между наименьшим и наибольшим числами. Равенство с наибольшим или наименьшим возможно только тогда, когда все числа набора одинаковы.

Проверка: для чисел \(2, 5, 8\) среднее равно \(5\), и действительно \(2\le 5\le 8\). Для набора из одинаковых чисел \(5{,}6; 5{,}6; 5{,}6\) среднее тоже \(5{,}6\).