1. Найти cos α, если sin α = 12/13; 2) a=8, ∠A=45°, ∠B=30°. Найти b; 3) a=6, b=10, ∠C=60°. Найти сторону c.

Кратко:

1. \(\cos\alpha=\pm\frac{5}{13}\); если \(\alpha\) — острый угол, то \(\cos\alpha=\frac{5}{13}\).
2. \(b=4\sqrt2\).
3. \(c=2\sqrt{19}\).

Как решать

В задачах 2 и 3 использую стандартные обозначения: сторона \(a\) лежит против угла \(A\), \(b\) — против \(B\), \(c\) — против \(C\).

1) Используем основное тригонометрическое тождество: \[ \sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1. \] Тогда \[ \cos^2\alpha=1-\left(\frac{12}{13}\right)^2 =1-\frac{144}{169} =\frac{25}{169}. \] Значит, \[ |\cos\alpha|=\frac{5}{13}. \] В школьной задаче обычно считают угол острым, поэтому берут знак «+»: \[ \cos\alpha=\frac{5}{13}. \] Строго говоря, без указания четверти возможны оба знака: \(\pm\frac{5}{13}\).

2) По теореме синусов: \[ \frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}. \] Отсюда \[ b=\frac{a\sin B}{\sin A} =\frac{8\sin30^\circ}{\sin45^\circ}. \] Подставляем значения: \[ b=\frac{8\cdot \frac12}{\frac{\sqrt2}{2}} =\frac{4}{\frac{\sqrt2}{2}} =\frac{8}{\sqrt2} =4\sqrt2. \]

3) По теореме косинусов: \[ c^2=a^2+b^2-2ab\cos C. \] Подставляем \(a=6\), \(b=10\), \(\angle C=60^\circ\): \[ c^2=6^2+10^2-2\cdot6\cdot10\cdot\cos60^\circ =36+100-120\cdot\frac12 =136-60=76. \] Значит, \[ c=\sqrt{76}=2\sqrt{19}. \] Корень берём положительный, потому что длина стороны положительна.