помоги решить и объяснить как
Сверь числа и знаки с фото.
Контрольная работа по теме «Функции» 2 вариант
График какой из приведённых ниже функций изображён на рисунке? № 1 | График функции: [Рисунок: парабола, ветви направлены вверх, вершина правее оси ординат; пересекает ось ординат ниже начала координат] | Варианты ответа: 1) \(y=-2x^2-2x+3\) 2) \(y=2x^2-2x+3\) 3) \(y=2x^2+2x-3\) 4) \(y=2x^2-2x-3\) № 2 | График функции: [Рисунок: парабола, ветви направлены вниз, вершина правее оси ординат] | Варианты ответа: 1) \(y=-x^2+8x-14\) 2) \(y=-x^2-8x-14\) 3) \(y=x^2+8x+14\) 4) \(y=x^2-8x-14\)
- Установите соответствие между графиками функций и формулами, которые их задают. А) [Рисунок: возрастающая прямая, проходящая через начало координат; подпись под графиком неразборчива] Б) [Рисунок: гипербола; видна ветвь в первой координатной четверти; подпись под графиком неразборчива] В) [Рисунок: парабола, ветви направлены вниз, вершина выше оси абсцисс; подпись под графиком неразборчива]
- \(y=\frac{2}{x}\) 2) \(y=x^2-2\) 3) \(y=2x\) 4) \(y=2-x^2\)
- Построить график функции и перечислить все её свойства \(y=x^2+4x-5\).
Кратко:
- 4;
- 1;
- А — 3, Б — 1, В — 4; формула 2) \(y=x^2-2\) лишняя;
- \(y=x^2+4x-5\) — парабола с вершиной \((-2;-9)\), ветви вверх, нули \(x=-5\) и \(x=1\).
1. График функции
На рисунке 1 парабола, ветви направлены вверх, значит \(a>0\). Вариант 1) отпадает.
График пересекает ось \(Oy\) ниже нуля, в точке \(y=-3\), поэтому \(c=-3\). Подходят варианты 3) и 4).
Вершина параболы находится правее оси \(Oy\), то есть \(x_0>0\). Формула вершины:
\[ x_0=-\frac{b}{2a} \]
Для варианта 3):
\[ x_0=-\frac{2}{4}=-0{,}5 \]
Для варианта 4):
\[ x_0=-\frac{-2}{4}=0{,}5 \]
Подходит вариант 4):
\[ y=2x^2-2x-3 \]
Проверка: при \(x=0\) получаем \(y=-3\), а нули функции примерно \(x\approx -0{,}8\) и \(x\approx 1{,}8\) — это совпадает с графиком.
2. График функции
Парабола на рисунке 2 имеет ветви вниз, значит \(a<0\). Подходят варианты 1) и 2).
Вершина расположена правее оси \(Oy\), значит \(x_0>0\).
Для варианта 1):
\[ x_0=-\frac{8}{2\cdot(-1)}=4 \]
Для варианта 2):
\[ x_0=-\frac{-8}{2\cdot(-1)}=-4 \]
Подходит вариант 1):
\[ y=-x^2+8x-14 \]
Проверка: вершина \(x_0=4\), \(y_0=-16+32-14=2\), то есть \((4;2)\). Ветви вниз — как на рисунке.
3. Соответствие графиков и формул
А) Прямая, проходящая через начало координат и возрастающая. Это \(y=2x\), то есть 3.
Б) Гипербола. Среди формул есть только \(y=\frac{2}{x}\), то есть 1.
В) Парабола, ветви вниз, вершина выше оси \(Ox\). Это \(y=2-x^2\), то есть 4.
Ответ:
\[ А-3,\quad Б-1,\quad В-4 \]
Формула 2) \(y=x^2-2\) лишняя: её график — парабола с вершиной \((0;-2)\) и ветвями вверх.
4. Функция \(y=x^2+4x-5\)
Строим график
Вершина:
\[ x_0=-\frac{b}{2a}=-\frac{4}{2}=-2 \]
\[ y_0=(-2)^2+4\cdot(-2)-5=4-8-5=-9 \]
Вершина: \((-2;-9)\).
Нули функции:
\[ x^2+4x-5=0 \]
\[ D=16+20=36 \]
\[ x_{1,2}=\frac{-4\pm 6}{2} \]
\[ x_1=1,\qquad x_2=-5 \]
Точки пересечения с осью \(Ox\): \((-5;0)\) и \((1;0)\).
Точка пересечения с осью \(Oy\): \((0;-5)\).
Дополнительные точки для построения:
\[ (-6;7),\ (-5;0),\ (-4;-5),\ (-3;-8),\ (-2;-9),\ (-1;-8),\ (0;-5),\ (1;0),\ (2;7) \]
Через эти точки проводим плавную параболу ветвями вверх.
Свойства функции
- Область определения: \(D(y)=(-\infty;+\infty)\).
- Область значений: \(E(y)=[-9;+\infty)\).
- Нули функции: \(x=-5\) и \(x=1\).
- \(y>0\) при \(x\in(-\infty;-5)\cup(1;+\infty)\).
- \(y<0\) при \(x\in(-5;1)\).
- Убывает на \((-\infty;-2]\).
- Возрастает на \([-2;+\infty)\).
- Наименьшее значение: \(y_{\min}=-9\) при \(x=-2\).
- Наибольшего значения нет.
- Ось симметрии: \(x=-2\).
- Функция ограничена снизу и не ограничена сверху.
- Функция общего вида: не является ни чётной, ни нечётной.
Что важно запомнить: для параболы \(y=ax^2+bx+c\) знак \(a\) показывает направление ветвей, \(c\) — точку пересечения с осью \(Oy\), а вершина находится по формуле \(x_0=-\frac{b}{2a}\).
