объясни номера с параметрами (последние два)

Последние два задания я читаю так: \[ \sqrt{x+\frac12}+\sqrt{x+\frac14}=a-x, \] \[ 2\sqrt{x+2+2\sqrt{x+1}}=a-x. \]

Краткий ответ

14.18. При \(a<\frac14\) решений нет; при \(a\ge\frac14\) решение единственное. При \(a=\frac14\) это \(x=-\frac14\).

14.19. При \(a<1\) решений нет; при \(a\ge1\): \[ x=a-2\sqrt a. \]

14.18

\[ \sqrt{x+\frac12}+\sqrt{x+\frac14}=a-x \]

Перенесём \(x\) в левую часть: \[ x+\sqrt{x+\frac12}+\sqrt{x+\frac14}=a. \]

Обозначим \[ F(x)=x+\sqrt{x+\frac12}+\sqrt{x+\frac14}. \]

Область определения: \[ x\ge -\frac14. \]

На этом промежутке \[ F'(x)=1+\frac{1}{2\sqrt{x+\frac12}}+\frac{1}{2\sqrt{x+\frac14}}>0. \] Значит, \(F(x)\) строго возрастает. Поэтому каждое значение \(a\) она принимает не более одного раза.

Считаем значение на левом конце: \[ F\left(-\frac14\right) =-\frac14+\sqrt{\frac14}+0 =-\frac14+\frac12 =\frac14. \]

При \(x\to+\infty\) функция \(F(x)\to+\infty\). Значит, её значения заполняют промежуток \[ \left[\frac14;+\infty\right). \]

Отсюда:

• если \(a<\frac14\), корней нет;
• если \(a=\frac14\), то \(x=-\frac14\);
• если \(a>\frac14\), существует ровно один корень \(x\), и он находится из уравнения \(F(x)=a\).

Проверка для \(a=\frac14\): \[ x=-\frac14: \quad \sqrt{\frac14}+0=\frac12, \qquad a-x=\frac14+\frac14=\frac12. \]

То есть при \(a=\frac14\) всё сходится.

14.19

\[ 2\sqrt{x+2+2\sqrt{x+1}}=a-x \]

Область определения: \[ x\ge -1. \]

Сделаем замену \[ t=\sqrt{x+1},\qquad t\ge0. \] Тогда \[ x=t^2-1. \]

Подкоренное выражение: \[ x+2+2\sqrt{x+1} =t^2-1+2+2t =t^2+2t+1 =(t+1)^2. \]

Поэтому \[ \sqrt{x+2+2\sqrt{x+1}}=t+1. \]

Уравнение превращается в \[ 2(t+1)=a-(t^2-1). \] Раскроем правую часть: \[ 2t+2=a+1-t^2. \] Переносим всё в одну сторону: \[ t^2+2t+1=a, \] то есть \[ (t+1)^2=a. \]

Так как \(t\ge0\), то \(t+1\ge1\), значит \(a\ge1\). Тогда \[ t+1=\sqrt a, \qquad t=\sqrt a-1. \]

Возвращаемся к \(x\): \[ x=t^2-1=(\sqrt a-1)^2-1 =a-2\sqrt a+1-1 =a-2\sqrt a. \]

Проверка: \[ a-x=a-(a-2\sqrt a)=2\sqrt a. \] А левая часть при найденном \(x\) тоже равна \(2\sqrt a\). Значит, корень подходит.

Общий принцип таких параметрических задач: удобно выразить параметр через \(x\), то есть свести уравнение к виду \[ a=F(x), \] а затем研究ить область определения, монотонность и множество значений \(F(x)\). Если функция строго монотонна, то число корней сразу определяется по горизонтальной прямой \(y=a\).