Реши 119 и 120

Question

Реши 119 и 120

Расшифровка фото нейросетью:
119 Прямая $OA$ перпендикулярна к плоскости $OBC$, и точка $O$ является серединой отрезка $AD$. Докажите, что: а) $AB = DB$; б) $AB = AC$, если $OB = OC$; в) $OB = OC$, если $AB = AC$.
120 Через точку $O$ пересечения диагоналей квадрата, сторона которого равна $a$, проведена прямая $OK$, перпендикулярная к плоскости квадрата. Найдите расстояние от точки $K$ до вершин квадрата, если $OK = b$.

Answer

Краткий ответ

119.
а) $AB=DB$;
б) если $OB=OC$, то $AB=AC$;
в) если $AB=AC$, то $OB=OC$.

120. Расстояние от $K$ до каждой вершины квадрата:
$$
\sqrt{b^2+\frac{a^2}{2}}.
$$

119. Доказательство

Так как $OA\perp (OBC)$, прямая $OA$ перпендикулярна любой прямой плоскости $OBC$, проходящей через $O$. Значит,
$$
OA\perp OB,\qquad OA\perp OC.
$$
Кроме того, $O$ — середина $AD$, поэтому
$$
AO=OD.
$$

а) Рассмотрим прямоугольные треугольники $AOB$ и $DOB$.
У них:

$AO=DO$;

$OB$ — общая сторона;

углы при $O$ прямые.

Значит, треугольники равны по двум катетам, поэтому
$$
AB=DB.
$$

б) Если $OB=OC$, то прямоугольные треугольники $AOB$ и $AOC$ имеют:

общий катет $AO$;

равные катеты $OB=OC$.

Они равны, следовательно,
$$
AB=AC.
$$

в) Если $AB=AC$, то по теореме Пифагора:
$$
AB^2=AO^2+OB^2,
$$
$$
AC^2=AO^2+OC^2.
$$
Левые части равны, $AO^2$ сокращается:
$$
OB^2=OC^2.
$$
Длины положительны, поэтому
$$
OB=OC.
$$

120. Решение

Пусть $ABCD$ — квадрат, $O$ — точка пересечения диагоналей, $P$ — любая его вершина.

Диагональ квадрата:
$$
AC=a\sqrt2.
$$
Поэтому расстояние от центра $O$ до вершины:
$$
OP=\frac{a\sqrt2}{2}=\frac{a}{\sqrt2}.
$$

Так как $OK\perp$ плоскости квадрата, то
$$
OK\perp OP.
$$
Треугольник $KOP$ прямоугольный, значит:
$$
KP=\sqrt{OK^2+OP^2}
=\sqrt{b^2+\left(\frac{a}{\sqrt2}\right)^2}
=\sqrt{b^2+\frac{a^2}{2}}.
$$

Для всех четырёх вершин расстояние одинаковое, потому что $OP$ у них одно и то же.

Ответ:
$$
\boxed{\sqrt{b^2+\frac{a^2}{2}}}
$$
до каждой вершины квадрата.