закон всемирного тяготения

Краткий ответ

Закон всемирного тяготения: любые два тела притягиваются друг к другу с силой, прямо пропорциональной произведению их масс и обратно пропорциональной квадрату расстояния между ними:

\[ F = G\,\frac{m_1 m_2}{r^{2}} \]

где \(G \approx 6{,}67\cdot 10^{-11}\ \text{Н}\cdot\text{м}^2/\text{кг}^2\) — гравитационная постоянная, \(r\) — расстояние между центрами тел.

Ключевые шаги: откуда берётся формула

1. Массы. Чем массивнее тела, тем сильнее притяжение: \(F \sim m_1 m_2\). Увеличили одну массу в 3 раза — сила выросла в 3 раза.
2. Расстояние. Притяжение слабеет по «квадрату»: \(F \sim \dfrac{1}{r^{2}}\). Увеличили \(r\) в 2 раза — сила упала в 4 раза, в 3 раза — в 9 раз.
3. Коэффициент \(G\). Он «переводит» массы и расстояние в ньютоны и одинаков для всей Вселенной. Его измерил Генри Кавендиш в 1798 г. с помощью крутильных весов.
4. Направление и взаимность. Сила направлена вдоль прямой, соединяющей центры тел. По третьему закону Ньютона силы равны по модулю и противоположны по направлению: Земля притягивает яблоко с той же силой, с какой яблоко притягивает Землю.

Как применять: разбор примера

Два корабля по \(10\ \text{т}\) (\(10^4\ \text{кг}\)) на расстоянии \(100\ \text{м}\):

\[ F = 6{,}67\cdot 10^{-11}\cdot\frac{10^{4}\cdot 10^{4}}{100^{2}} = 6{,}67\cdot 10^{-7}\ \text{Н} \]

Это доли микроньютона — поэтому в быту гравитацию между предметами не замечают.

Проверка результата и типичные ловушки

• Проверка размерности: \(\dfrac{\text{Н}\cdot\text{м}^2}{\text{кг}^2}\cdot\dfrac{\text{кг}\cdot\text{кг}}{\text{м}^2} = \text{Н}\) — сходится.
• Важная проверка на Земле. У поверхности \(F = mg\), а по закону тяготения \(F = G\dfrac{Mm}{R^{2}}\). Приравняв, получаем \(g = \dfrac{GM}{R^{2}} \approx 9{,}8\ \text{м/с}^2\). Совпадение с опытом и есть главное подтверждение закона.
• Ловушка №1: \(r\) — не высота над поверхностью, а расстояние между центрами тел. Для тела на высоте \(h\) надо брать \(r = R_{\text{Земли}} + h\).
• Ловушка №2: формула точна для материальных точек и для шаров (тогда \(r\) — между центрами). Для тел сложной формы её применяют только приближённо.
• Границы применимости: при очень сильных полях и огромных скоростях нужна общая теория относительности — там закон Ньютона работает лишь как приближение.