Реши номер 154 как решать я скинул
Сверь числа и знаки с фото.
- Выполните действия: а) \(\left(\frac{1}{y}+\frac{2}{x-y}\right)\left(x-\frac{x^2+y^2}{x+y}\right)\); б) \(\left(a+b-\frac{2ab}{a+b}\right):\left(\frac{a-b}{a+b}+\frac{b}{a}\right)\); в) \((x^2-1)\left(\frac{1}{x-1}-\frac{1}{x+1}+1\right)\); г) \(\left(m+1-\frac{1}{1-m}\right):\left(m-\frac{m^2}{m-1}\right)\).
6.11.26г. Преобразование рациональных выражений № 153 (а, б)
а) \((a^2+2a+1)\cdot\left(\frac{1}{a+1}+\frac{1}{a^2-1}-\frac{1}{a-1}\right)=\frac{-1}{a-1}\) [правее зачёркнуто]
- \(\frac{1}{a+1}+\frac{1}{a^2-1}-\frac{1}{a-1}=\frac{a-1+1-(a+1)}{a^2-1}=\frac{-1}{a^2-1}\);
- \((a^2+2a+1)\cdot\frac{-1}{a^2-1}=\frac{(a+1)^2\cdot(-1)}{(a-1)(a+1)}=\frac{-1}{a-1}\) [часть записи зачёркнута].
б) \(\left(1-\frac{9x^2+4}{12x}\right):\left(\frac{1}{3x}-\frac{1}{2}\right)+1=\)
- \(1-\frac{9x^2+4}{12x}=\frac{12x-9x^2-4}{12x}=-\frac{(3x-2)^2}{12x}\);
- \(\frac{1}{3x}-\frac{1}{2}=\frac{2-3x}{6x}\);
- \(-\frac{(3x-2)^2}{12x}:\frac{2-3x}{6x}=-\frac{(3x-2)^2\cdot6x}{12x\cdot(2-3x)}=\frac{3x-2}{2}\) [в записи есть зачёркивания];
- \(\frac{3x-2}{2}+1=\frac{3x-2+2}{2}=\frac{3x}{2}=1,5x\).
Кратко: а) 1; б) \(a\); в) \(x^2+1\); г) \(-m\).
На втором фото — образец решения №153: там одинаковый порядок действий. Для №154 он тоже подходит.
Общий алгоритм
- В скобках привести дроби к общему знаменателю.
- Числители раскладывать по формулам: \(a^2-b^2=(a-b)(a+b)\), \(a^2\pm2ab+b^2=(a\pm b)^2\).
- Деление заменить умножением на «перевёрнутую» дробь.
- Сократить одинаковые множители.
а) \[ \left(\frac{1}{y}+\frac{2}{x-y}\right)\left(x-\frac{x^2+y^2}{x+y}\right) \]
Первая скобка: \[ \frac{1}{y}+\frac{2}{x-y}=\frac{x-y+2y}{y(x-y)}=\frac{x+y}{y(x-y)} \]
Вторая скобка: \[ x-\frac{x^2+y^2}{x+y}=\frac{x(x+y)-(x^2+y^2)}{x+y}=\frac{xy-y^2}{x+y}=\frac{y(x-y)}{x+y} \]
Умножаем: \[ \frac{x+y}{y(x-y)}\cdot\frac{y(x-y)}{x+y}=1 \]
Ответ: 1.
б) \[ \left(a+b-\frac{2ab}{a+b}\right):\left(\frac{a-b}{a+b}+\frac{b}{a}\right) \]
Первая скобка: \[ a+b-\frac{2ab}{a+b}=\frac{(a+b)^2-2ab}{a+b}=\frac{a^2+b^2}{a+b} \]
Вторая скобка: \[ \frac{a-b}{a+b}+\frac{b}{a}=\frac{a(a-b)+b(a+b)}{a(a+b)}=\frac{a^2+b^2}{a(a+b)} \]
Делим: \[ \frac{a^2+b^2}{a+b}:\frac{a^2+b^2}{a(a+b)} =\frac{a^2+b^2}{a+b}\cdot\frac{a(a+b)}{a^2+b^2}=a \]
Ответ: \(a\).
в) \[ (x^2-1)\left(\frac{1}{x-1}-\frac{1}{x+1}+1\right) \]
Сначала разность дробей: \[ \frac{1}{x-1}-\frac{1}{x+1} =\frac{(x+1)-(x-1)}{(x-1)(x+1)} =\frac{2}{x^2-1} \]
Прибавляем 1: \[ \frac{2}{x^2-1}+1=\frac{2+x^2-1}{x^2-1}=\frac{x^2+1}{x^2-1} \]
Умножаем: \[ (x^2-1)\cdot\frac{x^2+1}{x^2-1}=x^2+1 \]
Ответ: \(x^2+1\).
г) \[ \left(m+1-\frac{1}{1-m}\right):\left(m-\frac{m^2}{m-1}\right) \]
Главный ход: \(\frac{1}{1-m}=-\frac{1}{m-1}\), поэтому \[ m+1-\frac{1}{1-m}=m+1+\frac{1}{m-1} \] \[ =\frac{(m+1)(m-1)+1}{m-1} =\frac{m^2-1+1}{m-1} =\frac{m^2}{m-1} \]
Вторая скобка: \[ m-\frac{m^2}{m-1} =\frac{m(m-1)-m^2}{m-1} =\frac{m^2-m-m^2}{m-1} =\frac{-m}{m-1} \]
Делим: \[ \frac{m^2}{m-1}:\frac{-m}{m-1} =\frac{m^2}{m-1}\cdot\frac{m-1}{-m}=-m \]
Ответ: \(-m\).
Проверка. Подставим в а) \(x=2,\ y=3\): \[ \left(\frac13-2\right)\left(2-\frac{13}{5}\right) =\left(-\frac53\right)\left(-\frac35\right)=1. \] В г) при \(m=2\): \[ \left(3+1\right):\left(2-4\right)=4:(-2)=-2=-m. \] Сходится.
Во всех пунктах подразумевается, что знаменатели не равны нулю: в а) \(y\ne0,\ x\ne\pm y\); в б) \(a\ne0,\ a\ne-b\); в) \(x\ne\pm1\); г) \(m\ne1,\ m\ne0\).
