Один из углов прямоугольной трапеции равен 120°. Найдите её среднюю линию, если меньшая диагональ и большая боковая сторона трапеции равны a.

Краткий ответ: \(\displaystyle \frac{3a}{4}\).

Как рассуждать. В прямоугольной трапеции углы при боковой стороне дают в сумме \(180^\circ\). Если один угол \(120^\circ\), то второй равен \(60^\circ\). Значит, наклонная боковая сторона образует с большим основанием угол \(60^\circ\). Это и есть большая боковая сторона, равная \(a\).

Опустим высоту на большее основание. Получим прямоугольный треугольник с гипотенузой \(a\) и углом \(60^\circ\). Тогда:

• разность оснований: \(\displaystyle a\cos 60^\circ=\frac a2\);
• высота: \(\displaystyle h=a\sin 60^\circ=\frac{a\sqrt3}{2}\).

Пусть меньшее основание равно \(x\), большее — \(x+\frac a2\). Меньшая диагональ идёт к меньшему основанию, поэтому

\[ x^2+h^2=a^2. \]

Подставим высоту:

\[ x^2+\frac{3a^2}{4}=a^2 \]

\[ x^2=\frac{a^2}{4},\qquad x=\frac a2. \]

Тогда большее основание:

\[ x+\frac a2=a. \]

Средняя линия:

\[ \frac{x+\left(x+\frac a2\right)}{2} = \frac{\frac a2+a}{2} = \frac{3a}{4}. \]

Проверка: при \(a=2\) основания равны \(1\) и \(2\), средняя линия \(\frac{1+2}{2}=1{,}5=\frac{3a}{4}\). Всё согласуется.